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第 53 讲 用函数的观点看一元二次方程
题一： 足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度 y
（m）关于飞行时间 x（s）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出 1s 时，足球的飞行高
度是 2.44m，足球从飞出到落地共用 3s．
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）足球的飞行高度能否达到 4.88 米？请说明理由；
（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44m（如图所示，足球的大小
忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框 12m 处的守门员至少要
以多 大的平均速度到球门的左边框？
题二： 小强在一次投篮训练中，从距地面高 1.55 米处的 O 点投出一球向篮圈中心 A 点投去，球的
飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度 3 .55 米时，球移动的水平距离为 2 米．现以 O 点为坐
标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得 OA 与水 平方向 OC 的夹角为 30°，A、C 两点相距 1.5
米．
（1）求点 A 的坐标；
（2）求篮球飞行路线所在抛物 线的解析式；
（3 ）判断小强这一投能否把球从 O 点直接投入篮圈 A 点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如
果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才 那一投直接命中篮圈 A 点了．（结果可保留根号）
题三： （1）已知二次函数 y= x2+3x 的值为4，求自变量 x 的值.
（2）解方程x23x4=0．
题四： （1）已知二次函数 y= x2+2x 的值为3，求自变量 x 的值.
（2）解方程 x22x+3=0．
题五： 已知二次函数 y=2x2 4x2．- 2 -
（1）在所给的直角坐标系中，画出该函数的图象；
（2）写出该函数图象与 x 轴的交点坐标．
题六： 已知二次函数 y=x25x+6．
（1）画出这个二次函数的图象．
（2）观察图象，当 x 取那些值时，函数值为 0？3
第 53 讲 用函数的观点看一元二次方程
题一： 见详解．
详解：（1）设 y 关于 x 的函数关系式为 y=ax2+bx．
依题可知：当 x =1 时，y = 2.44；当 x =3 时，y =0．
∴ ，∴ ，
∴y = 1.22x2+3.66x．
（2）不能．理由：∵y =4.88，∴4.88= 1.22x2+3.66x， ∴x23x+4=0．
∵(3)2 4×4＜0，∴方程 4.88= 1.22x2+3.66x 无解．
∴足球的飞行高度不能达到 4.88m．
（3）∵ y =2.44，∴2.44= 1.22x2+3.66x， ∴x23x+2=0，
∴x1=1（不合题意，舍去），x2=2．∴平均速度至少为 = 6（m/s）．
题二： 见详解．
详解：（1）在 Rt△A OC 中，∵∠AOC=30°，AC=1.5= ，
∴OC= = ，
∴点 A 的坐标为（ ，1.5）；
（2）∵顶点 B 的纵坐标：3.551.5 5=2，∴B（2，2），
∴设抛物线的解析式为 y = a（x 2）2+2，
把点 O（0，0）坐标代入得 0=a(02)2+2，解得 a = ，
∴抛物线的解析式为 y＝ (x−2)2+2，即 y＝ x2+2x；
（3 ）①∵当 x＝ 时，y≠1.5，
∴小强这一投不能把球从 O 点直接投入球篮；
②当 y =1.5 时，1.5＝ (x−2) 2+2，
解得 x1=1（舍），x2=3，又∵3＞ ，
∴小强只需向后退（3− ）米，就能使刚才那一投直接命中球篮 A 点了．
2.44
9 3 0
a b
a b
+ =
+ =
1.22
3.66
a
b
= −
=
12
2
3
2
2 2 2 233 ( )2OA AC− = − 3 3
2
3 3
2
1
2
−
1
2
− 1
2
−
3 3
2
1
2
−
3 3
2
3 3
24
题三： 见详解．
详解：（1）令 y= 4，则x2+3x = 4，即 x23x4=0，解得 x1= 1，x2=4，
所以，当二次函数 y=x2+3x 的值为4 时，自变量 x 的值为 x1= 1，x2=4；
（2）因式分解，得（x+1）（x4）=0，
x+1=0 或 x4=0，
解得 x1= 1，x2=4．
题四： 见详解．
详解：（1）令 y = 3，则x2+2x = 3，即 x22x3=0，解得 x1= 1，x2=3，
所 以，当二次函数 y=x2+2x 的值为3 时，自变量 x 的值为 x1= 1，x2=3；
（2）因式分解，得（x+1）（x3）=0，
x+1=0 或 x3 =0，
解得 x1=1，x2=3．
题五： 见详解．
详解：（1）作出函数图象如图所示；
（2）令 y =0，则 2x24x2=0，解得 x1=1+ ，x2=1 ，
∴与 x 轴的交点坐标为（1+ ，0）（1 ，0）．
题六： 见详解．
详解：（1）图象如图：
2 2
2 25
（2）观察图象可得：
①当 x = 2 或 x = 3 时，y=0．
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