- 1 -
第 68 讲 正弦、余弦、正切应用
题一：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA= ，求∠B 三角函数值．
题二：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，求∠A 及∠B 的其它三角函数值．
题三：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 边的 中点，
AB=2 ，BC=12，tanB= ．
(1)求△ABC 的面积；
(2)求 tan∠EDC 的值．
题四：如图，在△ABC 中，∠ABC= 45°，sinA= ，AB=14，BD 是 AC 边上的中线．
(1)求△ABC 的面积；
(2)求 tan∠ABD 的值．
题五：如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，AD⊥AB，若 BD=2CD，
tan∠CAD= ，求 tanB 的值．
3
4
5
13
13 3
2
3
5
1
5- 2 -
题六：如图，D 是△ABC 中 BC 边的中点，∠BAD=90°，tanB= ，AD= 2，
求 sin∠DAC 的值．
2
33
第 68 讲 正弦、余弦、正切应用
题一：见详解．
详解：依题意，tanA= = ，
设 BC=3x，AC= 4x，由勾股定理得 AB= =5x，
∴sinB= = = ，cosB= = = ，tanB= = = ．
题二：见详解．
详解：∵sinA= = ，
设 BC=5k，则 AB=13k，由勾股定理得 AC= =12k，
∴cosA= = ，tanA= = ，
sinB= = ，cosB= = ，tanB= = ．
题三：见详解．
详解：(1)在△ABD 中，∠ADC=90°，AB=2 ，tanB= ，
∴AD2+BD2=AB2， = ，即 AD2+BD2=(2 )2=52，BD= AD，
解得 AD=6，BD= 4，或 AD=－6(舍去)，BD=－4(舍去)，
在△ABC 中，AD⊥BC，BC=12，
∴△ABC 的面积为 ×BC×AD= ×12×6=36；
(2)在 Rt△ABD 中，E 是 AC 边上的中点，
∴AE=EC=DE，∴∠EDC=∠ACD，
∴tan∠EDC=tan∠ACD = = = ．
题四：见详解．
详解：如图，(1)作 CH⊥AB，垂足为点 H，
∵sinA= ，∴设 CH=3x，那么 AC=5x，AH= 4x，
∵∠ABC=45°，∴BH=CH=3x．
∵AB=14，∴4x+3x=14， 解得 x=2，即 CH=6，
∴△ABC 的面积= ×AB×CH= ×14×6= 42；
(2)作 DM⊥AB，垂足为点 M，
BC
AC
3
4
2 2BC AC+
AC
AB
4
5
x
x
4
5
BC
AB
3
5
x
x
3
5
AC
BC
4
3
x
x
4
3
BC
AB
5
13
2 2AB BC−
AC
AB
12
13
BC
AC
5
12
AC
AB
12
13
BC
AB
5
13
AC
BC
12
5
13 3
2
AD
BD
3
2 13 2
3
1
2
1
2
AD
CD
6
12 4−
3
4
3
5
1
2
1
24
∵DM∥CH，AD=CD，∴DM= CH=3，AM= 4．
∴BM=10，∴tan∠ABD= = ．
题五： ．
详解：过点 C 作 AD 的垂线 ，交 AD 的延长线于 E，∵tan∠CAD= ，∴ = ，
设 CE=x，则 AE= 5x，∵∠C DE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，则 ，
∵BD=2CD，∴ ，∴DE= x，
∴tan∠DCE= = = ，
∵AB//CE，∴∠DCE=∠B，∴tanB= ．
题六： ．
详解：过 C 点作 AB 的垂线，交 BA 的延长线于 E，
∵∠BAD=90°，tanB= = ，AD=2，∴AB=3，
∵CE⊥AB，∴∠E=90°，
∵∠DAB=90 °，∴∠E=∠DAB，∴A D∥CE，
∵D 为 BC 中点，∴AB=AE=3，
在△BEC 中，tanB= = ，∵BE=3+3=6，∴CE=4，
∴在 Rt△AEC 中，CE= 4，AE=3，由勾股定理得 AC= =5，
1
2
DM
BM
3
10
5
3
1
5
CE
AE
1
5
DE CD
AD BD
=
1
2
DE CD
AD BD
= = 5
3
DE
CE
5
3 x
x
5
3
5
3
3
5
AD
AB
2
3
CE
BE
2
3
2 2CE AE+5
∵AD∥CE，∴∠DAC=∠EC A，∴sin∠DAC=sin∠ECA= = ．AE
AC
3
5
微信/支付宝扫码支付