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第 72 讲 解斜三角形
题一：如图，△ABC 中，∠A=30°， ，AC= ，求 AB 的长．
题二：如图，在△ABC 中，∠BCA=135°，AC=2 ，BC=4．求 AB 的长．
题三：在△ABC 中，BC=6，AC= ，∠A=30°，求 AB 的长．
题四：在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，求 AB 边上的高 CD 的长．
题五：如图，在△ABC 中∠C 是锐角，BC=a，AC=b．
(1)证明： ；
(2)△ABC 是等边三角形，边长为 4，求△ABC 的面积．
题六：如图，在△ABC 中，sin∠B= ，∠C=3 0°，AB=10．
求：(1) AC 的长；(2)△ABC 的面积．
3tan 2B = 2 3
2
6 3
1 sin2ABCS ab C∆ =
4
52
第 72 讲 解斜三角 形
题一： 5．
详解：如图，作 CD⊥AB 于 D，
在 Rt△ACD 中，∠A=30°，AC= ，∴CD= ，AD=3，
在 Rt△BCD 中， ，∴BD= =2，∴AB=AD+BD=5．
题二： ．
详解：如图，作 AD⊥BC 交 BC 的延长线于 D，
∵∠BCA=135°，∴∠ACD= ，
在 Rt△ACD 中，AC=2 ，∠ACD= ，
∴CD=AD=AC sin45°=2 × =2，
在 Rt△BDA 中， BD=BC+CD=6，AD=2．
∴AB= ．
题三：12 或 6．
详解：如图 1，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，∵∠A= 30°，AC= ，
∴CD= AC= ，AD=AC cos30°= × =9，
在 Rt△BCD 中，∵BC=6，CD= ，∴BD= =3，
∴AB=AD +BD=9+3=12；
如图 2，同理可得 AB=AD－BD=9－3=6．
综上所述，AB 的长为 12 或 6．
2 3 3
3tan 2B =
tan
CD
B
2 10
45°
2 45°
⋅ 2 2
2
2 2 2 26 2 2 10BD AD+ = + =
6 3
1
2 3 3 ⋅ 6 3 3
2
3 3 2 2 2 26 (3 3)BC CD− = −3
题四： 或 或 4．
详解：①当 AB=AC 时，∵∠A=30°，∴CD= AC= ×8= ；
②当 AB=BC 时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，
∴CD=cos∠BCD BC=cos30°×8= ；
③当 AC=BC 时，则 AD= ，∴CD=tan∠A AD=tan30°×4= ．
综上所述，AB 边上的高 CD 的长为 或 或 4．
题五：略； ．
详解：(1)如图，作 AD⊥BC， ∴ BC AD，
在 Rt△ACD中，AD=AC sinC， ∴ ；
(2)∵△ABC 是等边三角形，边长为 4，sin60°= ，
4 3
3 4 3
1
2
1
2 4
⋅ 4 3
4 ⋅ 4 3
3
4 3
3 4 3
4 3
ABCS∆ = 1
2
⋅
⋅ 1 sin2ABCS ab C∆ =
3
24
∴ ．
题六：16； ．
详解：(1)作 AD⊥BC， 垂足为点 D，在△ABD 中，∠ADB=90°，
∴sin∠B= ，∵AB=10，∴AD=8．
在△ACD 中，∠ADC=90°，∠C=30°，∴AC=2AD=16；
(2)在△ABD 中，∠ADB=90°，AB=10，AD=8，∴BD=6．
在△ACD 中，∠ADC=90°，AD=8，AC=16，∴CD= ，
∴BC= ，∴ ．
1 4 4 sin60 4 32ABCS∆ = × × × ° =
24 32 3+
4
5
AD
AB
=
8 3
6 8 3+ 1 1 8 (6 8 3) 24 32 32 2ABCS AD BC∆ = ⋅ = × × + = +
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