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第 73 讲 解直角三角形与实际问题
题一：如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，∠ ABC=60°， AC= ，D 为 CB 延长线上一点，且
BD=2AB．求 AD 的长．
题二：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AD 为∠BAC 的角平分线，且 AD= ，求 BC 的
长．
题三：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30°，测得岸边点 D 的俯角为
45°，现从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC，如果 AC 是 120 米，求河宽 CD 的长？
题四：如图，小山上有一座 铁塔 AB，在 D 处测得点 A 的仰角∠ADC=60°，点 B 的仰角∠BDC= ，
在 E 处测得点 A 的仰角∠E=30°，并测得 DE=90 米．求小山高 BC 和铁塔高 AB．
题五：为了测量学校旗杆 AB 的高度，学校数学实践小组做了如下实验：在阳光的照射下，旗杆 AB
的影子恰好落在水平地面 BC 的斜坡坡面 CD 上，测得 BC=20 米，CD=18 米，太阳光线 AD 与水平面夹
角为 30°且与斜坡 CD 垂直．根据以上数据，请你求出旗杆 AB 的高度．
3
16 3
3
45°- 2 -
题六：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面
上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一根长为 1 米、垂直
于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，求树的高度．
题七：如图，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔 P 在北偏东 60°方向上，在 A 处东
500 米的 B 处，测得海中灯塔 P 在北偏东 30°方向上，求灯塔 P 到环海路的距离 PC．
题八：如图，在一条东西公路 l 的两侧分别有村庄 A 和 B，村庄 A 到公路的距离为 3 千米，村庄 A
位于村庄 B 北偏东 60°的方向，且与 村庄 B 相距 10 千米．现有一辆长途客车从位于村庄 A 南偏西
76°方向的 C 处，正沿公路 l 由西向东以 40 千米/小时的速度行驶，此时，小明正以 25 千米/小时
的速度由 B 村出发，向正北方向赶往公路 l 的 D 处搭乘这趟客车．
(1)求村庄 B 到公路 l 的距离；
(2)小明能否搭乘上这趟长途客车？
(参考数据 ，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)
题九：如图，山顶建有一座铁塔，塔高 BC=80 米，测量人员在一个小山坡 的 P 处测得塔的底部 B 点
的仰角为 45°，塔顶 C 点的仰角为 60 度．已测得小山坡的坡角为 30°，坡长 MP=40 米．求山的高
度 AB．
3 1.73≈- 3 -
题十：如图，为了测量某山 AB 的高度，小明先在山脚下 C 点测得山顶 A 的仰角为 45°，然后沿坡
角为 30°的斜坡走 100 米到达 D 点，在 D 点测得山顶 A 的仰角为 30°，求山 AB 的高度．4
第 73 讲 解直角三角形与实际问题
题一： ．
详解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A BC=60°，AC= ，
∴ ，BC=1，
∵D 为 CB 延长线上一点，BD=2AB，
∴BD= ，CD=5，∴ ．
题二：8 ．
详解：在△ACD 中，∠C=90°，AD= ，
由勾股定理得 DC= = AD= ，
∴∠DAC=30°，∴∠BAC=2×30°=60°，∴∠B=90°－60°=30°，
∴tan30°= = = ，∴BC=8 ．
题三：(60 －60)米．
详解：过点 A 作 AF⊥CD 于 F，
根据题意知∠ACF=30°，∠ADF= ，AC=120，
在 Rt△ACF 中，cos∠ACF= =cos30°= ，
∴CF=120× =60 ，
又 sin∠A CF= =sin30°= ，∴AF=120× =60，
在 Rt△ADF 中，tan∠ADF= = tan45°=1，
∴DF=60，∴CD=CF－DF=60 －60，
答：河宽 CD 的长为(60 －60)米．
2 7
3
2sin60
ACAB = =°
4 2 2 2 7AD CD AC= + =
3
16 3
3
2 2AD AC− 1
2
8 3
3
AC
BC
8
BC
3
3 3
3
45°
CF
AC
3
2
3
2 3
AF
AC
1
2
1
2
AF
DF
3
35
题四： 米，( )米．
详解：在△ADE 中，∠E=30°，∠ADC=60°，
∴∠E=∠DAE=30°，∴AD=DE=90；
在 Rt△ACD 中，∠DAC=30°，
∴CD= AD= ，AC=AD sin∠ADC=AD sin60°= ，
在 Rt△BCD 中，∠BDC= ，∴△BCD 是等腰直角三角形．
∴BC=CD= ，∴AB=AC－BC= ，
答：小山高 BC 为 45 米，铁塔高 AB 为( )米．
题五： 米．
详解：作 AD 与 BC 的延长线， 交于 E 点．在 Rt△CDE 中，∠E=30°，
∴CE=2CD=2×18=36，则 BE=BC+C E=20+36=56，
在 Rt△ABE 中，tan∠E= ，∴AB=BE tan30°= ，
因此，旗杆 AB 的高度是 米．
题六：( +6)米．
详解：延长 AC 交 BF 延长线于点 D，作 CE⊥BD 于点 E，则∠CFE=30°，
在 Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF= ，∴CE=2，EF= =2 ，
在 Rt△CED 中，CE=2，∴DE= ，
∴BD=BF+EF+ED=12+2 ，
在 Rt△ABD 中，AB= BD= (12+2 )= +6，
因此，树的高度是( +6)米．
45 45 3 45−
1
2 45 ⋅ ⋅ 45 3
45°
45 45 3 45−
45 3 45−
56 3
3
AB
BE
⋅ 56 3
3
56 3
3
3
4 4cos30° 3
4
3
1
2
1
2 3 3
36
题七：250 米．
详解：∵∠PAB=90°－60°=30°，∠PBC=90°－30°=60°，
又∵∠PBC=∠PAB+∠APB，∴∠PAB=∠APB=30°，∴PB=AB，
在直角△PBC 中，PC=PB sin6 0°=500× =250 ，
因此，灯塔 P 到环海路的距离 PC 是 250 米．
题八：2 千米；能．
详解：(1)设 AB 与 l 交于点 O，在 Rt△AOE 中，∠OAE=60°，AE=3，
∴OA= =6，∵AB=10，∴OB=AB－OA= ．
在 Rt△BOD 中，∠OBD=∠OAE=60°，∴BD=OB cos60°=2，
因此，观测点 B 到公路 l 的距离为 2 千米；
(2)能．因为 CD=3tan76°－5 ≈3.38．
t 客车= =0.0845(小时)，t 小明= =0.08(小时)，t 客车＞t 小明．
题九：(60+40 )米．
详解：如图，过点 P 作 PE⊥AM 于 E，PF⊥AB 于 F，
在 Rt△PME 中，∵∠PME=30°，PM= 40，
∴PE=20．∵四边形 AEPF 是矩形，∴FA=PE=20，
设 BF=x，∵∠FPB= 45°，∴FP=BF=x．∵∠FPC=60°，
∴CF=PF tan60°= x，∵CB=80，∴80+x= x，
解得 x= 40( +1)，∴AB= 40( +1)+20=60+40 ．
答：山高 AB 为(60+40 )米．
3
⋅ 3
2 3
3
cos60
AE
° 4
⋅
3
3.38
40
2
25
3
⋅ 3 3
3 3 3
37
题十：50(3+ )米．
详解：过 D 作 DE⊥BC 于 E，作 DF⊥AB 于 F，设 AB=x，
在 Rt△DEC 中，∠DCE=30°，CD=100，∴DE=50，CE=50 ，
在 Rt△ABC 中，∠ACB= 45°，∴BC=x，
则 AF=AB－BF=AB－DE=x－50，DF=BE=BC+CE=x+50 ，
在 Rt△AFD 中，∠ADF=30°，tan30°= ，
∴ ，∴x=50(3+ )，
经 检验 x=50(3+ )是原分式方程的解．
答：山 AB 的高度约为 50(3+ )米．
3
3
3
AF
FD
50 3
350 3
x
x
− =
+ 3
3
3
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