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第 55 讲 实际问题与二次函数（二）
题一： (1)用长为 20 米的篱笆，一面靠墙(墙的长度是 10 米)，围成一个长方形花圃，如图，设 AB
边的长为x 米，花圃的面积为 y 平方米，求 y 与 x 之间的函数关 系式，并求出自变量 x 的取值范围；
(2)一个边长为 3 厘米的正方形，若它的边长增加 x 厘米，面积随之增加 y 平方厘米，则 y 关于 x 的
函数解析式是___________．
题二： (1)长方体底面周长为 50cm，高为 10cm，则长方体体积 y (cm3)关于底面的一条边长 x(cm)
的函数解析式是___________，其中 x 的取值范围是___________；
(2)某印刷厂一月份印书 50 万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为 x，那么三月份的印
书量 y(万册)与 x 的函数解析式是___________．
题三： 李大叔想用篱笆围成一个周长为 80 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方米)随矩形一边
长 x (单位：米)的变化而变化．
(1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大 ？最大面积是多少？
题四： 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 25m)的空地上修建一个矩形绿化
带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围住(如图)．若设绿化带的 BC 边长为 x m，
绿化带的面积为 y m2．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大．
题五： 如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，
设 AB = x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应有多长？- 2 -
题六： 一块三角形废料如图所示， ∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形
AGEF，其中，点 G，E，F 分别在 AB，BC，AC 上．设 CE =x
(1)求 x =2 时，平行四边形 AGEF 的面积．
(2)当 x 为何值时，平行 四边形 AGEF 的面积最大？最 大面积是多少？3
第 55 讲 实际问题与二次函数（二）
题一： 见详解．
详解：(1)根据已知得，AB = x，则 BC = 202x，
所以，矩形面积 y = x(202x)，即 y = 2x2+20x；
由于墙的长度是 10 米，故 0＜202x≤10，解得 5≤x＜10；
(2)原边长为 3 厘米的正方形面积为：3×3=9 (平方厘米)，
边长增加 x 厘米后边长变为：x+3，
则面积为：(x+3)2 平方厘米，
∴y= (x+3)29= x2+6x．
题二： 见详解．
详解：(1)∵长方体底面周长为 50cm，底面的一条 边长 x(cm)，
∴底面的另一条边长为：(25x)cm，根据题意得出：
y =x(25x)×10= 10x2+250x，
∵ ，
∴0＜x＜25；
(2)∵一月份印书量 50 万册，
2 月份起，每月印书量的增长率都为 x，
∴2 月份印书量为 50×(1+ x)，
∴三月份的印书量为 y=50×(1+x)×(1+x)=50(1+x)2=50x2+100x+50．
题三： 见详解．
详解：(1)根据题意可得：
S=x(40x)= x2+40x，且有 0＜x＜40，
所以 S 与 x 之间的函数关系式为：S =x×(40x)= x2+40x，并写出自变量 x 的取值范围
为：
0＜x＜40；
(2)求 S = x2+40x 的最大值，
S = x2+40x = (x20 )2+400，
所以当 x=20 时，有 S 的最大值 S =400，
答：当 x 是 20m 时，矩形场地面积 S 最大，最大面积是 400m．
题四： 见详解．
详解：(1)由题意得：
y＝x• ＝− x2+20x，
自变量 x 的取值范围是 0＜x≤25，
(2)y= x2+20x= (x 20)2+200，
∵20＜25，
∴当 x=20 时，y 有最大值 200 平方米，
即当 x=20 时，满足条件的绿化带面积最大．
题五： 见详解．
详解：根据题意得：AD=BC= ，上边三角形的面积为： (5x) ，右侧三角形的面积为：
0
25 0
x
x
>
− >
40
2
x− 1
2
1
2
1
2
y
x
1
2
y
x4
x(12 )，
所以 y=30 (5x) x(12 )，
整理得 y = x2+12x，
= [x25x+( )2 ]，
= (x )2+15，
∵ ＜0
∴长方形面积有最大值，此时边长 x 应为 m．
故要使长方形的面积最大，其边长应为 m．
题六： 见详解．
详解：设平行四边形 AGEF 的面积是 S．
∵四边形 AGEF 是平行四边形，
∴EF∥AG；
∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，
∴∠A=∠CFE=30°，
∴CF= x，AC=6 ，
∴AF=6 x；
∴S=AF•CE=(6 x)x= x2+6 x，即 S= x2+6 x；
(1)当 x=2 时，S= 4 +12 =8 ，即 S=8 ，
答：平行四边形 AGEF 的面积为 8 ；
(2)由 S= x2+6 x，得
S＝− x2+6 x，
∴S＝− (x−3)2+9 ，
∴当 x =3 时，平行四边形 AGEF 的面积最大，最大面积是 9 ．
1
2
y
x
1
2
y
x
1
2
y
x
12
5
12
5
12
5
25
4
12
5
5
2
12
5
5
2
5
2
3 3
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3
3 3
3 3
3 3
3
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