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第 60 讲 相似三角形的判定(三)
题 一 ： 如图，△ABC 与下列三角形相似但不全等的是（ ）
A． B． C． D．
题二： 判定下列三角形中哪些是相似的？
题三： 求证：如果一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的两条直角边的对应比相等，
那么这两个三角形相似．
题四： 求证：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
题五： 如图，△ABC、△DEF 都是等边三角形，点 D、E 分别在 AB、BC 上．图中有与△DBE 相似的
三角 形吗？请说明理由．
题六： 如图，△PQR 是等边三角形，∠APB=120°，以每两个三角形为一组写出图中所有的相似三
角形，并选择其中的一组加以证明．- 2 -
题七： 腰与底成比例的两个等腰三角形是否相似？证明你的结论．
题八： 等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形是否相似？证明你的结论．3
第 60 讲 相似三角形的判定(三)
题一： C．
详解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B= 75°，
∴∠C=75 °，∠A=30°，
A 选项中三角形各角的度数分别为 75°，52.5°，52. 5°，
B 选 项中三角形各角的度数都是 60°，
C 选项中三角形各角的度数分别为 75°，30°，75°，
D 选项中三角形各角的度数分别为 40°，70°，70°，
∴只有 C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选 C．
题二： ①、⑤、⑥相似；②、⑦相似；③、④、⑧相似．
详解：根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到①、⑤、⑥相似；
根据两组对应边的比相等 且相应的夹角相等的两个三角形相似得到②、⑦相似；
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到③、④、⑧相似．
题三： 见详解．
详解：已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， ．
试说明 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
证明：∵∠C=∠C′=90°， ，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
题四： 见详解．
详解：已知：如图，在 Rt△ACB∽Rt△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠E=90°，
试说明 Rt△ACB∽Rt△DEF．
证明：∵∠A=∠D，∠C=∠E=90°，∴Rt△ACB∽Rt△DEF．
题五： △GAD，△ECH，△G FH．
详解：图中有与△DBE 相似的三角形有：△GAD，△ECH，△GFH．
理由：∵△ABC、△DEF 都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠ADG+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，
∴ ∠ADG=∠BED，∴△BDE∽△AGD，
同理：△BDE∽△CEH，
∵∠GHF=∠CHE，∠C=∠F=60°，
∴△CEH∽△FGH，∴△BDE∽△FGH，
AC BC
A C B C
=′ ′ ′ ′
AC BC
A C B C
=′ ′ ′ ′4
∴图中有与△DBE 相似的三角形有：△GAD，△ECH，△GFH．
题六： △APQ∽ △PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP．
详解：△APQ∽△PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP．
证明：∵△PQR 是等边三角形，∴∠PQR=∠QPR=∠PRQ=60°，
∴∠A+∠APQ=∠B+∠BPR=60°，
∵∠APB=120°，∴∠APQ+∠BPR=60°，
∴∠A=∠BPR，∠B=∠APQ，∴△APQ∽△PBR，
∵∠A 是公共角，∠B=∠APQ，∴△APQ∽△ABP，
∴△APQ∽△PBR∽△ABP．
题七： 相似．
详解：腰与底成比例的两个等腰三角形相似 ．理由如下：
∵两个等腰三角形的腰与底成比例，
∴两个等腰三角形的三条对应边的比相等，
∴这两个三角形相似．
题八： 不相似．
详解：等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形不相似．理由如下：
根据只有两边对应成比例，且夹角相等的三角形相似，如图所示，AB=CD，BD=BD，只有当∠
ABD=∠BDC 时，两三角形相似，而此时四边形 ABCD 是平行四边形．
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