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第 61 讲 相似三角形的判定(四)
题一： 在△ABC 中，AB=12，AC=15，D 为 AB 上一点，DB= AB，在 AC 上取一点 E 得△ADE，若这两
个三角形相似，则 AE 的长为___________．
题二： 如图，在△ABC 中，D 是 BA 的延长线上的一点，AB=6，AC= 4，AD=2，若 CA 的延长线上存
在点 E，使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为___________．
题三： 如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
求证：△ABC∽△ADE．
题四： 如图，AB=AC，∠DAE=∠B．求证：△ABE∽△DCA．
题五： 如图， ，点 B，D，F，E 在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说
明理由．
题六： 如图，已知 EF∥AC，GH∥AB，IK∥BC，写出图中所有和△DGF 相似的三角形．
1
3
AB BC AC
AD DE AE
= =- 2 -
题七： 如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=90°，对角线 BD⊥DC．
求证：BD2=AD•BC．
题八： 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线 AC、BD 相交于点 E，且 AC⊥BD．求
证：CD2=BC•AD．3
第 61 讲 相似三角形的判定(四)
题一： 10 或 6.4．
详解：∵AB=12，AC =15，DB= AB，∴DB= 4，AD=8，
如图①，若△ADE∽△ACB，则 ，∴AE=6.4；
如图 ②，若△ADE∽△ABC，则 ，∴AE=10，
综上所述，AE 的长为 10 或 6 .4．
题二： 或 3．
详解：∵AB=6，AC= 4，AD=2，
如图①，若△AED∽△ACB，则 ，∴AE= ；
如图②，△AED∽△ABC，则 ，∴AE=3，
综上所述，AE 的长为 或 3．
题三： 见详解．
详解： ∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，
又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．
题四： 见 详解．
详解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠BAD+∠B，
又∵∠DAE=∠B，∴∠BAE=∠CDA，
∴△ABE∽△DCA．
题五： 见详解．
详解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△AFE∽△BFC．
1
3
AD AE
AC AB
=
AD AE
AB AC
=
4
3
AE AD
AC AB
= 4
3
AE AD
AB AC
=
4
34
理由 ：∵ ，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∵ ，∴ ，
∴△BAD∽△CAE，
∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC，
∴△AFE∽△BFC．
题六： 见详解．
详解：①∵GH∥AB，
∴∠B=∠DGF，∠BEF=∠GDF，
∴△GDF∽△BEF；
②∵GH∥AB，
∴∠B=∠DGF，∠GDF=∠A．
∴△GDF∽△BAC；
③∵EF∥AC，
∴∠EFB=∠C，∠GDF=∠GHC，
∴△GDF∽△GHC；
同理④△GDF∽△DHK；⑤△GDF∽△IED；⑥△GDF∽△IAK．
题七： 见详解．
详解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，
∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，
∵∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BDC．
∴△ABD∽△DCB，∴ ，
∴BD2=AD•BC．
题八： 见详解．
详解：∵AD∥BC，∠BCD=90°，∴∠ADC= ∠BCD=90°，
又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠C BD，∴△ACD∽△DBC，
∴ ，即 CD2=BC•AD．
AB BC AC
AD DE AE
= =
AB AC
AD AE
= AB AD
AC AE
=
BD AD
BC BD
=
AD CD
CD BC
=
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