- 1 -
第 54 讲 实际问题与二次函数（一）
题 一： 某商品现在售价为每件 60 元，每月可卖出 300 件，此时每件可赚 20 元．市场调查：如调
整售价，每涨价 1 元，每月可少卖 10 件；每降价 1 元，每月可多卖 10 件．该商品下月新一轮的进
价每件减少 10 元，下月应如何定价，才能使下月的总利润最大？
题二： 凯里市某大型酒店有包房 100 间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费 100 元时，包
房便可全部租出；若每间包房收费提高 20 元，则减少 10 间包房租出，若每间包房收费再提高 20 元，
则再减少 10 间包房租出，以每次提高 20 元的这种方法变化下去．
(1)设每间包房收费提高 x(元)，则每间包房的收入为 y1(元)，但会减少 y2 间包房租出，请分别写出
y1，y2 与 x 之间的函数关系式．
(2)为了 投资少而利润大，每间包房提高 x( 元)后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y(元)，请写
出 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明
理由．
题三： 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体(看成一点)
的路线是抛物线 y = x2+3x+1 的一部分，如图所示．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高 BC =3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成
功？请说明理由．
题四： 如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从O 点正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，
其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x6)2+h．已知球网与 O 点的水平距离
为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m．
(1)当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)
(2)当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围．
3
5
−2
第 54 讲 实际问题与 二次函数（一）
题一： 见详解 ．
详解：设定价为 x 元/件，总利润为 y 元，则
现在进价为 60 20=40(元/件)；下月进 价为 40 10=30 元/件)；
涨价时，下月总销量是 30010(x60)= 90010x，(60≤x≤90)；
降价时，下月总销量是 300+10(60x)= 90010x，(30≤x≤6 0)；
y=(90010x)(x30)= 10x2+1200x27000 = 10(x60)2+9000，(30≤x≤90)
当 x=60 时，y 有最大值是 9000 元．
题二： 见详解．
详解：(1)由题意得：
y1=100+x，
y2= •10= x，
(2)y=( 100+x)(100 x)，
即：y= (x-50)2+11250，
因为提价前包房费总收入为 100×100=10000 元．
当 x =50 时，可获最大包房收入 11250 元，
∵11250＞10000．
又∵每次提价为 20 元，每间包房晚餐提高 40 元与每间包房晚餐提高 60 元获得包房收入相
同，
∴每间包房晚餐应提高 40 元或 60 元．
但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高 60 元
应该更好．
∴每间包房晚餐应提高 60 元．
题三： 见详解．
详解：(1)将二次函数 y= x2+3x+1 化成 y = (x )2+ ，
当 x = 时，y 有最大值，ymax = ，
因此，演员弹跳 离地面的最大高度是 米．
(2)能成功表演．
理由是：当 x=4 时，y= ×42+3×4+1=3.4．
即点 B (4，3.4) 在抛物线 y= x2+3x+1 上，
因此，能表演成功．
题四： 见详解．
详解：(1)∵h=2.6，球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，
∴抛物线 y=a(x6)2+h 过点(0，2)，
∴2=a (06)2+2.6，
20
x 1
2
1
2
1
2
3
5
− 3
5
− 5
2
− 19
4
5
2
19
4
19
4
3
5
−
3
5
−3
解得：a = ，
故 y 与 x 的关系式为：y = (x6)2+2.6，
(2)当 x=9 时，y = (x6)2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当 y=0 时， (x−6)2+2.6＝0，
解得：x1=6+ ＞18，x2=6 (舍去)
故会出界；
(3)当球正好过点(18，0)时，抛物线 y=a(x6)2+h 还过点 (0，2)，代入解析式得：
，
解得： ，
此时二次函数解析式为：y= (x6)2+ ，
此时球若不出边界 h≥ ，
当球刚能过网，此时函数解析式过(9，2.43)，抛物线 y=a(x6)2+h 还过点(0，2)，代入解
析式得：
，
解得： ，
此时球要过网 h≥ ，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：h≥ ．
1
60
−
1
60
−
1
60
−
1
60
−
2 39 2 39
2 36
0 144
a h
a h
= +
= +
1
54
8
3
a
h
= −
=
1
54
− 8
3
8
3
2
2
2.43 (9 6)
2 (0 6)
a h
a h
= − + = − +
43
2700
193
75
a
h
= −
=
193
75
8
3
微信/支付宝扫码支付