问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围
一、考情分析
离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.
二、经验分享
离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征＋≥2c的运用
三、知识拓展
1.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，，（P为椭圆上一点）
2.在双曲线中，，
四、题型分析
(一) 借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率
的范围.
【例1】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C. D．
20
【答案】A
【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.
【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值
【小试牛刀】已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角最小,若椭圆上存在点P令切线互相垂直,则只需,即,
∴,解得,∴,即,而,
∴,即.
(二) 借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.
【例2】 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是 .
20
【答案】
【解析】左焦点为.连结可得四边形是矩形,所以.所以又所以. .又因为,.所以.即.因为所以.所以.故填.
【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.
【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意， 关于原点对称，设， ，
，故选A.
20
(三) 借助函数的值域求解范围
根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵椭圆,∴,,,,∵双曲线,,,,
∴由条件有,则,∴,由,有,,,∴,即,而,∴.
【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式,进而根据m的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.
【小试牛刀】已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由当时,二次曲线为双曲线,双曲线即为,且,则,即有,故选C.
(四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围
20
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.
【例4】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,由圆锥曲线的共同特征可得,所以,即,所以,又,解得,所以离心率的最小值为,故选D．
【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值．
【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先由双曲线的定义得到，再由点M在双曲线左支上，即可得出结果.
【解析】由双曲线的定义可得，根据点M在双曲线的左支上，可得，，双曲线离心率的最大值为，
故选A．
四、迁移运用
1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】两正数的等差中项为，等比中项为，且
20
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，
因为，所以，所以.故选D
2．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即 ，所以 ，所以 ，故选A
3．【江西省高安中学2019届高三上学期期中】如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
解：由题意得：
20
四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, ||=||=2c,则三角形为等边三角形.
过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，
||=2c,在直角三角形中, ||=, ||=,
则P(2c,), 连接, 则||=.
由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=,
所以双曲线的离心率为e===，故选C.
4．【宁夏银川一中2019届高三第一次模拟】双曲线和直线，若过的左焦点和点的直线与平行，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
过的左焦点和点的直线可写为：，即
与平行
又
本题正确选项：
5．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，则，，
根据双曲线的定义，得，即，
20
解之得：；
因为，所以三角形是以为直角的直角三角形，
所以，因此；
在三角形中，
，可得，因此，该双曲线的离心率为.
故选A
6．【广东省韶关市2019届高三1月调研】设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】圆是以原点为圆心，以为半径的圆，则，从而有，
∴|M|＝c，c，，由双曲线的定义得，得离心率为，
故选：B.
7．【广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ， ，
设点，
则由中点公式可得线段的中点 ，
线段的斜率与的斜率之积等于，
即，
，
20
，
，，或舍去，
．
又椭圆的离心率 ，
故，
故选：C．
8．【陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练】设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，
不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知
所以，，，
,,为△最小边,
△的最小内角，根据余弦定理，
，
即，
，
所以．
故选：C．
9．【北京市丰台区2019届高三上学期期末】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为
A．2 B． C． D．
20
【答案】D
【解析】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
10．【四川省绵阳市2019上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为，
因为双曲线与双曲线有公共点，
所以只需，即，即，即，解得.
故选C
11．【河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线 的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．4或 B． C． D．
【答案】D
【解析】
由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则
由已知可得
20
当时，则故舍去，综上
故选D
12．【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
，
是钝角三角形，
是钝角，
即有，
为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，
，
，即，
由，可得，
解得或，舍去，
则双曲线的离心率的范围是．
故选：D．
13．【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
20
【解析】由题意如图：MF⊥AB，且OC⊥AB，∴MFOC，同理MFOD，
∴①，，②
①②得到：===,
∴2（a﹣c）＝c+a，
∴a＝3c，∴e．
故选：B．
14．【吉林省长春市2019届高三质量监测（二)】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，
则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，
又由焦点到渐近线的距离为，
又由，所以，即，
又由原点到的距离为，
在直角中，由射影定理得，即，
又由，整理得，所以，故选B.
20
15．【2019年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知，
易知，轴，则，
，
设，则，由椭圆定义可知，
，
在中，由余弦定理可得，
整理得，
解得或．
当时，；
当时，离心率为．
综上所述，椭圆C的离心率为或．
故选：D．
16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知椭圆：，过左焦点
20
作斜率为1的直线与交于，两点，若线段的中垂线与轴交于（为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则中点.
直线的方程为，与椭圆联立得，
所以.
可得.所以，
因为，即，所以，，故选B.
17．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得：，，可得，，，，
，，,
可得，可得．故选B．
18．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一点，且，直线交轴于点，若
20
，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合题意，可知
，故，结合，可知
故，设，所以，，
所以，故选D。
19．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为；所以渐近线方程为
因为直线交于点O且相互垂直，与双曲线C交于点，与C交于点，且使得成立的直线有且只有一对，所以可得，
所以，即，所以.
故选D
20．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
20
【解析】
记椭圆的左焦点为，则 ，即， ， ，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.
21．【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在，，∴，∴，，，
∵，∴，，，∴，故选D．
22．【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故
20
．
在中，，
由双曲线的定义可得
，∴．
∵，∴，
∴，
∴．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．
23．【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末】已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，
不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．
∴可得：e=．因此e．
20
当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．
可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．
综上可得：．故选C．
24．【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知、分别是椭圆： 的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 、分别是椭圆： 的左、右焦点，若椭圆上存在点，
， ， ， ，当点为右顶点时，可取等号，故选D.
25.F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝90°,则椭圆的离心率的取值范围是________．
【答案】 ≤e
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