问题23 利用方程思想求解数列问题
一、考情分析
数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在数列学习过程中得以较为充分的体现，数列中的绝大部分计算题都可看作方程应用题，特别是求数列中的基本量都可转化为关于基本量的方程或方程组.
二、经验分享
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(3)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(4) 为使问题有确定的解应使变量个数与方程组的个数相等
三、知识拓展
在列方程时除了利用等差等比数列的通项公式及前n项和公式，有时还要用到以下结论：
(1)在等差数列中an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
(2)在等比数列中an＝am·qn－m(n，m∈N*)．若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
四、题型分析
(一) 方程思想在等差数列中的应用
【例1.】已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
【分析】列出关于a1与d的方程组，求出a1与d，再求a9.
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得
，解得
则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.
6
【点评】数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.
∴或解得或
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.
【小试牛刀】【山东济南外国语学校2019届1月模拟】已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，
∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10），解得a1＝﹣1，
∴{an}的前n项和Snn+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）．
故选A．
(四) 构造一元二次方程求解数列问题
【例5】已知等差数列满足，则的取值范围是
【分析】构造关于的一元二次方程
【点评】含有双变量的等式可看作关于其中一个变量的方程，利用方程思想求解
【小试牛刀】已知数列为正项的递增等比数列，，记数列的前n项和为，则使不等式2018成立的最大正整数n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6
【答案】B
【解析】设正项的递增等比数列{an}的公比为q＞1，∵a1+a5＝82，a2•a4＝81＝a1a5，
所以是方程，
解方程得a1＝1，a5＝81．
∴q4＝81，解得q＝3．
∴an＝3n﹣1．
∴数列的前n项和为Tn＝2＝223（1）．
则不等式化为：20181，即3n＜2018．
∵36＝729，37＝2187．
∴使不等式成立的最大正整数的值为6．
故选B．
五、迁移运用
1．【山东济南2019届期末】已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为( )
A．-2 B．2 C．-3 D．3
【答案】B
【解析】由题意可得： 5d＝25，解得d＝2．故选B．
2.【甘肃、青海、宁夏2019届期末联考】设等比数列的前项和为 ，若，，则
A．-60 B．-40 C．20 D．40
【答案】B
3.【广东揭阳2019届模拟】记等比数列的前项和为，已知，且公比，则=( )
A．-2 B．2 C．-8 D．-2或-8
【答案】C
6
【解析】依题意，解得，故，故选C.
4.【湖北宜昌2019届元1月调研】等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A．1 B．-1 C． D．-2
【答案】C
【解析】当q=1时满足，当时，由，得，
整理的 ，所以q=-1，综上得q=，故选C。
5.【浙江台州2019届期末】已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6.【山东济南2019届1月模拟】已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10），
解得a1＝﹣1，∴{an}的前n项和Snn+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）．
故选A．
7.【黑龙江哈尔滨师大附中2019届期末】已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的前项和为（ ）
A． B． C．或 D．或
6
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
∴a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），整理得，解得d＝0或4．∴an＝2，或an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．
当d＝0时，数列{an}的前n项和为2n；
当d＝4时，则数列{an}的前n项和为2n2n2．故选C．
8.【山东济南外国语学校2019届1月模拟】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，戊所得为（ ）
A． 钱 B．钱 C． 钱 D． 钱
【答案】B
【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，
由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，即a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，得a＝﹣6d，又五人分五钱，则a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，
∴a＝1，则a+2d＝a+2×＝．故选B．
（2） 由（1），则有．
则．
14．【山西吕梁2019届一模】为等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求证：.
6
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