问题34 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题
一、考情分析
通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.
二、经验分享
1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。
2. 垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。
3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。
三、知识拓展
以MN为直径的圆经过点P，则，可转化为
四、题型分析
(一) 圆与椭圆的结合点
1.1圆的几何性质与椭圆相联系
【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆：的圆心．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图,过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线,分别交轴于点、
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．试推断是否存在点,使？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．
【分析】(1)由已知条件分别求出的值,而,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点满足题意,设点（）,,,利用条件求出直线方程,根据圆心到直线的距离为,求出与点坐标之间的关系,同理求出与点坐标之间的关系,利用韦达定理求出的表达式,算出,求出点坐标.
【解析】（1）设椭圆方程,半焦距为,
因为椭圆的右焦点是圆的圆心,则,
因为椭圆的离心率为,则,即,
从而,故椭圆的方程为．
（2）设点（）,,,
则直线的方程为,即,
因为圆心到直线的距离为1,
即,
即,即,
同理．
由此可知,,为方程的两个实根,
所以,,
．
29
因为点在椭圆上,则,即,
则,
令,
则,
因为,则,,即,
故存在点满足题设条件．
【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题．
【小试牛刀】已知椭圆的离心率为,其左顶点在圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为,是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.
【答案】（I）；（II）不存在,理由见解析.
【解析】（I）因为椭圆的左顶点在圆上,令,得,所以.又离心率为,所以,所以,所以.
所以的方程为.
（II）设点,,设直线的方程为,
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与椭圆方程联立得,
化简得到,因为-4为方程的一个根,
所以,所以
所以
因为圆心到直线的距离为,
所以.
因为,
代入得到,
显然,所以不存在直线,使得.
1.2 利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系
【例2】已知椭圆：.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆
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的位置关系,并证明你的结论.
【分析】（1）把椭圆：化为标准方程,确定,,利用求得离心率；（2）设点,,其中,由,即,用、表示,当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线与圆的位置关系.
【解析】（1）由题意椭圆的标准方程为,所以,,从而,
所以.
（2）直线与圆相切,证明如下：设点,,其中,
因为,所以,即,解得,
当时,,代入椭圆的方程得,此时直线与圆相切.
当时,直线的方程为,即,
圆心到直线的距离为,又,,
故.故此直线与圆相切.
【小试牛刀】已知椭圆过点,且离心率．
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(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由．
【解析】解法一：（1）由已知得,解得,所以椭圆的方程为．
（2）设点,,的中点为．由,
得,所以,,
从而,
所以,
,
故
,所以．
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故点在以为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点,,则,．
由,得,
所以,,
从而
,
所以．又,不共线,所以为锐角．
故点在以为直径的圆外．
(二) 圆与双曲线的结合点
2.1 利用圆的性质解决双曲线的相关问题
由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.
【例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
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【答案】A
【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．
【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，
由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，
|BT||PB||t|，
当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，
当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，
t＝0时，P与B重合，不符合题意，
则t的取值范围为[，0）]；
故选：A．
【小试牛刀】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即
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，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为.故选B
2.2 圆的切线与双曲线相联系
【例4】已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线的中心,是双曲线右支上的点,
的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点,过作直线的垂线,垂足为,若为双曲
线的离心率,则( )
A. B. C. D. 与关系不确定
【答案】C
【解析】设内切圆在上的切点为,上的切点为,上的切点为,的坐标为,
∴,即,延长交于,∵是角平分线和垂线,∴是的中点,是的中点,是中位线,,∴,∴.
【小试牛刀】已知点、为双曲线：的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且．圆的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证：．
【解析】（1）设的坐标分别为
因为点在双曲线上,所以,即,所以
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在中,,,所以
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为：
（2）由条件可知：两条渐近线分别为
设双曲线上的点,设两渐近线的夹角为,则
则点到两条渐近线的距离分别为
因为在双曲线：上,所以
又,
所以
（3）由题意,即证：.
设,切线的方程为：
①当时,切线的方程代入双曲线中,化简得：
所以：
又
所以
②当时,易知上述结论也成立． 所以
综上,,所以．
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(三) 圆与抛物线的结合点
3.1圆的性质与抛物线相结合
【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的4 ,杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r最大取 时,才能使玻璃球触及杯底．
【答案】1
【解析】建立如图所示的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为,因为过点,所以,即.玻璃球触及杯底,就是小球的截面圆与抛物线有且仅有一个交点,即原点.由与消去得：或因为有且仅有一个交点,即原点,所以即半径r最大取1.
【小试牛刀】【广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二)】已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】把代入可得，不妨设M在第一象限，
则，
又，直线AM的方程为，即，
原点O到直线AP的距离，
以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，
，解得．
故选：B．
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3.2 抛物线的性质与圆的相联系
【例6】已知椭圆离心率为,焦距为,抛物线的焦点是椭圆的顶点.
（Ⅰ）求与的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线交于两点,若的右顶点在以为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.
【分析】（Ⅰ）椭圆的焦距为,,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得,,在以为直径的圆内,得结果.
【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为,依题意有,,解得,,故椭圆的标准方程为,又抛物线开口向上,故是椭圆的上顶点,,,故抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：,设点,,联立得,由韦达定理得,.
在以为直径的圆内
.
【小试牛刀】已知抛物线C：的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.
（I）求C的方程；
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（II）过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.
【解析】（I）设,代入,得．由题设得,解得（舍去）或,∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得．设则
．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入,并整理得．设则．故的中点为．
由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或．所求直线的方程为或．
四、迁移运用
1．【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，且切点为，已知为坐标原点，为线段的中点（点在切点的右侧），若的周长为，则双曲线的渐近线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
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解：连OT，则OT⊥F1T，
在直角三角形OTF1中，|F1T|b．
连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点
∴OMPF2，
∴|MO|﹣|MT|PF2﹣（ PF1﹣F1T）（PF2﹣PF1）+b
b﹣a．
又|MO|+|MT|+|TO|=，即|MO|+|MT|=3a
故|MO|=, |MT|=,
由勾股定理可得：，即
∴渐近线方程为：
故选：B
2．【山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟】已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点
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为圆的直径
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形
又，可得：
本题正确选项：
3．【河南省濮阳市2019届高三下学期摸底】双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得，，，，
，，
且，菱形的边长为，
由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D．
由面积相等，可得，
即为，
即有，
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由，可得，
解得，
可得，或(舍去)
故选：C．
4．【广东省潮州市2019届高三上学期期末】已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交于点A，且，则双曲线C的离心率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线C与圆在第一象限相交于点A，
可得，
由，
可得，，
由，可得，
即为，
即有，
即有．
故选：A．
5.【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，
则点到焦点的距离为，则，
所以抛物线方程：，
设，圆，圆心为，半径为1，
则，
当时，取得最小值，最小值为，
故选D.
6．【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三上学期期末】已知椭圆的右焦点为，离心率为e，过原点斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，以MN为直径的圆过原点O，若，则e的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记线段MN与x轴交点为C．
的中点为M，BF的中点为N，
，，
、B为椭圆上关于原点对称的两点，
．
原点O在以线段MN为直径的圆上，
．
．
，
，
．
设，，易得．
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由，可得得，．
直线AB斜率为，
，
，
由于，
离心率e的取值范围为
故选：D．
7．【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线
因为是双曲线的左、右焦点
所以（-c，0），（c，0）
因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）
则
解得
所以为（）
因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为
将以的（）代入圆的方程得
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化简整理得 ，所以
所以选B
8．【河南省中原名校（即豫南九校)2018届高三第六次质量考评】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A，
联立
所以，|AB|=
所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.
所以该圆E的方程为.
所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，此时应满足
∠PDQ，所以，整理得.解之得
，故选D.
9．【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】已知， 分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于， 两点， 的内切圆半径为， 的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）
29
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】设的内切圆圆心为 ， 的内切圆圆心为，边 上的切点分别为 易见 横坐标相等，则 由 即 得 即 ，记 的横坐标为 ，则 ，于是 ，得 同理内心 的横坐标也为 则有轴，设直线的倾斜角为，则 则 故选D.
10．【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )
A. 23 B. 42 C. 12 D. 52
【答案】A
【解析】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程，焦点为F(2,0).圆的标准方程为，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有，又
29
= ，当且仅当时等号成立。选A.
11．【湖北七市（州）教研协作体2018年3月高三联考】已知圆： 与抛物线： 相交于， 两点，分别以点， 为切点作圆的切线.若切线恰好都经过抛物线的焦点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题得设A， ，联立圆E和抛物线得： ，代入点A得,又AF为圆的切线，故，由抛物线得定义可知：AF=，故化简得： ，将点A代入圆得： ，而=，故故选A
12．【福建省2019届适应性练习】椭圆的右焦点为，左顶点为，线段的中点为，圆过点，且与交于， 是等腰直角三角形，则圆的标准方程是____________
【答案】
【解析】如图设A（﹣a，0），可得a＞1，c＝1，b2＝a2﹣1，
线段AF的中点为B（，0），
圆F的圆心为F（1，0），半径r＝|BF|，
29
设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），
由△BDE为等腰直角三角形，可得kBD＝1，
即1，即n＝m，
由D在圆F：（x﹣1）2+y2＝（）2上，
可得（m﹣1）2+（m）2＝（）2，
化简可得（m﹣1）（2m﹣1+a）＝0，
解得m＝1或m（舍去），
则n，
将D（1，）代入椭圆方程，可得
1，
化简可得a＝2或（舍去），
则圆F的标准方程为（x﹣1）2+y2，
故答案为：（x﹣1）2+y2．
13．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点．若以为直径的圆过点，则的值为________．
【答案】4
【解析】假设k存在，设AB方程为：y＝k（x﹣1），
29
与抛物线y2＝4x联立得k2（x2﹣2x+1）＝4x，
即k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0
设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），
∵以为直径的圆过点,
∴∠QBA＝90°，
∴（x1﹣2）（x1+2）+y12＝0，
∴x12+y12＝4，
∴x12+4x1﹣1＝0（x1＞0），
∴x12，
∵x1x2＝1，
∴x22，
∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，
故答案为：4
14．【北京市顺义区2019届高三期末】已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是以，为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率是______．
【答案】
【解析】设，
由于P是以为直径的圆与该双曲线的一个交点
则是直角三角形，，
由，则，
，，
，
．
故答案为：
15．【河南省许昌高级中学2019届高三复习诊断（二)】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点
29
，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题意可得，直线的方程为，联立方程组，可得，
设，则，，
设，则，，
又，
所以圆是以为圆心，4为半径的圆，所以点恒在圆外．
圆上存在点，使得以为直径的圆过点，即圆上存在点，使得，设过点的两直线分别切圆于点，
要满足题意，则，所以，
整理得，解得，
故实数的取值范围为
16．【宁夏吴忠市2019届高三下学期第一次模拟】在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为.过的直线交于，两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆与轴正半轴相交于两点，（点在点的左侧），过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，连接，，求证.
【解析】
(1)设椭圆C的方程为(a＞b＞0)．因为离心率为，所以，解得，即.又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)＝2a＋2a＝4a，所以又△PQF2的周长为，即a＝2，b＝2，
所以椭圆C的方程为.
(2)把y＝0代入＋(y－2)2＝,解得x＝1或x＝4，因为点在点的左侧，即点M(1，0)，N(4，0)．
29
①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM＝∠BNM.
②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)．
联立 (k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝.
因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝＋8＝，
所以kAN＋kBN＝0，所以∠ANM＝∠BNM，综上所述，∠ANM＝∠BNM.
17．已知的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,,且的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上任意一点,分别是椭圆的左、右顶点,直线与直线分别交于两点,试证：以为直径的圆交轴于定点,并求该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）证明见解析,或.
【解析】（1）因为,所以,.
由题意得,解得.
29
从而,结合,得,
故椭圆的方程为.
（2）由（1）得,,
设,则直线的方程为,
它与直线的交点的坐标为,
直线的方程为,它与直线的交点的坐标为,
再设以为直径的圆交轴于点,则,从而,即
,即,解得.
故以为直径的圆交轴于定点,该定点的坐标为或.
18．已知椭圆：的左焦点为,其左、右顶点为、,椭圆与轴正半轴的交点为,的外接圆的圆心在直线上.
（I）求椭圆的方程；
（II）已知直线：,是椭圆上的动点,,垂足为,是否存在点,使得为等腰三角形？若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(I)；(II)或.
【解析】（I）由题意知,圆心既在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上,
29
设的坐标为,则的垂直平分线方程为…①
因为的中点坐标为,的斜率为
所以的垂直平分线的方程为…②
联立①②解得: ,
即,
因为在直线上,所以………（4分）
即
因为,所以
再由求得
所以椭圆的方程为………（7分）
（II）若,即
解得,(显然不符合条件,舍去).
此时所以满足条件的点的坐标为.
综上,存在点或,使得为等腰三角形
19．已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在圆上,且在第一象限,过作的切线交椭圆于两点,问：
29
的周长是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得,∴,∴椭圆的方程为.
（2）由题意,设的方程为,
∵与圆相切,∴,即,
得,
设,则,
∴又,∴,
同理,∴,
∴（定值）.
20．已知椭圆的焦距为2,左、右顶点分别为,是椭圆上一点,记直线的斜率为,且有.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点,以为直径的圆经过原点,且线段的垂直平分线在轴上的截距为,求直线的方程.
【答案】（1）；（2）．
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【解析】（1）依题意,,,
设,则有,即,
,,
,,
即椭圆的方程为；
（2）设,的中点为,
联立得到,
①
,,, ②
因为以为直径的圆经过原点,所以,,,
,,
化简得 ③
将②式代入得到代入①式得到,
由于线段的垂直平分线经过点,,
将②代入得到 ④
联立③④得或1,因为,所以,.
所以直线的方程为.
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