问题19 数列中的最值问题
一、考情分析
数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.
二、经验分享
(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．
(2) 最大值与最小值：若 则an最大；若 则an最小.
(3)求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n项和的最值.
三、知识拓展
已知等差数列的公差为d，前n项和为，①若，有最小值，若，则最小，若则最小； ①若，有最大值，若，则最大，若则最大。
四、题型分析
(一) 求数列的最大项或最小项
求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组(n≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组(n≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.
【例1】已知数列的通项公式为=,求的最大项．
【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足的的值.
【解法一】基本不等式法.
， ，则当时， 的最大值为，故选
(三) 求满足数列的特定条件的的最值
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【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知的前项和为，且成等差数列，，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【分析】先求和，再解不等式.
【答案】C
【解析】，当时，，由成等差数列可得，即，解得，故，则，故，由得，即，则，即，故的最小值为.
【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（ ）
A．338 B．337 C．336 D．335
【答案】D
(四) 求满足条件的参数的最值
【例4】已知为各项均为正数的数列的前项和,.
（1）求的通项公式；
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（2）设,数列的前项和为,若对恒成立,求实数的最大值.
【分析】(1)首先求得的值,然后利用与的关系推出数列为等差数列,由此求得的通项公式；(2)首先结合（1）求得的表达式,然后用裂项法求得,再根据数列的单调性求得的最大值．
(2)由 ,可得
.
因为,所以,所以数列是递增数列,
所以,所以实数的最大值是.
【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列中每一项均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．
【小试牛刀】已知数列的通项公式为,前项和为,若对任意的正整数,不等式恒成立,则常数所能取得的最大整数为 .
【答案】5
【解析】要使恒成立,只需.
因
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,
所以,
，
数列为等差数列，首项为，
,
,
,,
在数列中只有,,为正数
的最大值为
故选
5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是( )
A．62 B．63
C．126 D．127
【答案】D
6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】B
【解析】数列中，，，
得到：，
，
，
，
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上边个式子相加得：
，
解得：．
当时，首项符合通项．
故：．
数列满足，
则，
由于，
故：，
解得：，
∴当n∈[1,44]时,{an}单调递减,当n∈[45,100]时,{an}单调递减,
结合函数f(x)＝的图象可知,(an)max＝a45,(an)min＝a44,选C.
10.已知函数,且,设等差数列的前项和为,若,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．
由题意可得或
解得a=1或a=-4,
当a=-1时, ,数列{an}不是等差数列；
当a=-4时, , ,
,
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当且仅当,即时取等号,
∵n为正数,故当n=3时原式取最小值,故选D．
11．已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．
【答案】
12．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为________.
【答案】
【解析】因为是各项均为正数的等比数列，且，所以，则，即，即，即的最小值为.
13．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列的前项和为，且，则使得的最小正整数的值为__________．
【答案】
9
【解析】，，两式相减，故， 故，故的最小值为.
14．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列满足， ,则的最大值为________．
【答案】512
【解析】依题意有，解得，故.，故当时，取得最大值为.
15．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设是等差数列的前项和，若， ，则数列的最大项是第________项.
【答案】13
16.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则的最小值是________.
【答案】9
【解析】当 时， ，即，展开化为： ∵正项数列的前项和为 ∴数列是等比数列，首项为1，公比为4．
9
则
则
当且仅当即时等号成立.
故答案为9
19.已知数列满足：,,且
,记集合.
（1）若,写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素时3的倍数,证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
解析：（1）,,.
（2）因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数.
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由,可归纳证明对任意,是3的倍数.
如果,则的所有元素都是3的倍数；
如果,因为或,所以是3的倍数,或是3的倍数,于是是3的倍数.类似可得,,…,都是3的倍数.从而对任意,是3的倍数,因此的所有元素都是3的倍数.
综上,若集合存在一个元素是3的倍数,则的所有元素都是3的倍数.
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