问题07 函数与方程、不等式相结合问题
一、考情分析
函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.
二、经验分享
(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．
(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．
【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式： 对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.
【小试牛刀】【2018届湖南衡阳高三12月联考】已知函数
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,若恰好存在3个整数,使得成立,则满足条件的整数的个数为 （ ）
A. 34 B. 33 C. 32 D. 25
【答案】A
【解析】画出的函数图象如图所示：
(三) 函数、方程和不等式关系的应用
函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.
【例3】已知函数,其中m,a均为实数．
(1)求的极值；
(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；
(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求
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的取值范围．
【分析】(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定在上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为
,整理为,由此函数在区间上为减函数,则在（3,4）上恒成立,要求的取值范围．采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得
成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为（）,其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.
【解析】（1）,令,得x = 1．
【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.
【小试牛刀】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在的函数,若关于的方程有且只有个不同的实数根,则实数的取值集合是 ．
【答案】
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五、迁移运用
1．【2019届广东省汕头高三上学期第二次联考】设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
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2．【2019届四川省攀枝花市高三第一次统考】在直角坐标系中,如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数的图象上关于原点成中心对称的点有( )
A． 对 B． 对 C． 对 D． 对
【答案】C
【解析】
因为关于原点对称的函数解析式为,
所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，
就是与为图象交点个数，
同一坐标系内，画出与图象，如图，
由图象可知，两个图象的交点个数有5个，
的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.
3．【2019届山东省济南高三11月调研】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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4．【2018届安徽省芜湖市高三一模】已知函数，若方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，作图，由与相切 得，由与相切得设切点，如图可得实数的取值范围是，选B.
5．【2018届湖北省襄阳市高三1月调研】已知定义在上的函数，当时，，且对于任意的实数，都有，若函数有且只有三个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【解析】
由图可知,选B.
13.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检,10】已知函数,则的解集为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】因为当时,；当时, ,所以,等价于,即,解得,所以的解集为,故选B．
14.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】设函数（,为自然对数的底数）,若曲线上存在一点使得,则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题设及函数的解析式可知,所以．由题意问题转化为“存在,使得有解”,即在有解,令,则,当时,函数是增函数；所以,当,即.所以,故应填答案.
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15．【2019届天津市三校联考】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
16．【2019届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测】已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得
，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是．
19.定义在上的函数及二次函数满足：, ,且的最小值是．
（Ⅰ）求和的解析式；
（Ⅱ）若对于,均有成立,求实数的取值范围；
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（Ⅲ）设讨论方程的解的个数情况．
【答案】（Ⅰ）,
（Ⅱ）
（Ⅲ）三个解．
（Ⅱ）设, ,
依题意知：当时,
∵,在上单调递增,
,解得,
实数的取值范围是；
（Ⅲ）图像解法：的图象如图所示： 令,则
而有两个解, 有个解．
有个解．
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（2）若,则或,
∴；
若,则或
由解得,而无解
综上所述,方程共有三个解．
20.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时,；
（3）若函数有两个零点,,比较与的大小,并证明你的结论.
【答案】（1）时,f（x）在上递增,上递减,上递增；时,f（x）在上递增；时,f（x）在上递增,上递减,上递增；时,f（x）在上递增,在上递减；（2）见解析；（3）．
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综上所述：时,f（x）在上递增,上递减,上递增；
时,f（x）在上递增；
时,f（x）在上递增,上递减,上递增；
时,f（x）在上递增,在上递减；
（2）
设
∴
∴在上单调递减
∴得证．
22.【2018届海南省八校高三上学期新起点联盟考试】设函数,其中.
(1)若直线与函数的图象在上只有一个交点,求的取值范围；
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(2)若对恒成立,求实数的取值范围.
(2)当时, , ,令得；
令得, 递增；
令得, 递减,
∴在处取得极小值,且极小值为,
∵,∴,
∵当即时, ,∴,即,∴无解,
当即时, ,∴,即,
又,∴,综上,.
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