问题04 函数中的存在性与恒成立问题
一、考情分析
函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.
二、经验分享
(1) 设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.
(2) 对于一次函数有：
(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．
(4) 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:
①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；
②求在上的最大（或最小）值；
③解不等式(或) ,得的取值范围.
(5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.
(6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.
三、知识拓展
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(1)恒成立问题
①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；
②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；
④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) g(x)max；
⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) A成立,则f(x) max >A；
②. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) max >0；
④. ∃x0∈D,使得f(x0) g(x) min；
⑥. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1) g(x2)成立,则f(x)min> g(x) min；
②∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) −e,
即a>1−e；又a−1⩽0,∴a⩽1,∴实数a的取值范围是(1−e,1].故选B.
5．【2018届广东省五校高三12月联考】已知函数,若有且只有两个整数, 使得,且,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可知, ,即, ,设,由,可知,在上为减函数,在上为增函数, 的图象恒过点,在同一坐标系中作出
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的图象如下：若有且只有两个整数,使得,且,则
,即,解得,故选C.
6．【2018届陕西省西安高三上学期期中】已知函数,若对于任意的,都有成立,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
7．【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟】已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
不等式即，
结合可得恒成立，即恒成立，
构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，
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故恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则的最小值为，
据此可得实数的取值范围为.
本题选择D选项.
8．【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】已知对任意的，总存在唯一的，使得成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
9．【贵州省铜仁市第一中学2019届高三上学期第二次月考】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，所以在上是单调减函数；
当时，，所以在上是单调增函数；
所以的图像如图所示：
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直线恒过点，
设过的直线与曲线相切于点且切线方程为：
，代入，故，
解得或者，
当时，，所以当时，直线可与在轴下方的图像相交．
因为有且只有一个整数解，故曲线上的点在直线下方，在直线上方或在直线上，故 即，故选B．
10．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三10月联考】已知函数①f(x)=x+1；②f(x)=-2；③f(x)=；④f(x)=lnx；⑤f(x)=cosx。
其中对于f(x)定义域内的任意，都存在，使得f()f()=成立的函数是
A． ①③ B． ②⑤ C． ③⑤ D． ②④
【答案】B
【解析】由知，对函数f(x)图象上任意一点，都存在一点，使OA⊥OB，若斜率都存在，则．
对于①，由于f(x)=x+1，所以无论两个点如何取，OA和OB的斜率均等于1，故①不成立；
对于②，由于，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f(x)图象上任意一点，都存在一点，使OA⊥OB，故②成立；
对于③，由于，若，则，显然不成立，故③不成立；
对于④，由于f(x)=lnx，则当时，故，直线OA为x轴，此时与直线OA垂直的直线为y轴，而y轴与函数f(x)的图象无交点，故④不成立；
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对于⑤，由于f(x)=cosx，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f(x)图象上任意一点，都存在一点，使OA⊥OB，故⑤成立．
综上可得符合条件的是②⑤．
故选B．
11．【福建省莆田市第一中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12．【福建省厦门外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知函数，，若对任意的，，都有成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增，，．
由于任意，，恒成立，所以，
即时，恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
而，当时，，
所以在单调递减，
由于，所以时，，时，，所以，即．
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13．【2018届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式在实数集R上恒成立,则正整数的最大值是_____．
[参考数据： ]
【答案】
【解析】
14．【2018届河南省漯河高三上学期第四次模拟】已知（, 为常数）和是定义在上的函数,对于任意的,存在使得, ,且,则在上的最大值为__________.
【答案】5
【解析】∵,(当且仅当x=2时,等号成立),
∴,∴,∴,
∴,∵f(x)在x=2处有最小值,∴,即b=8,故c=−5,
故,故f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,4]上是增函数,
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而,故f(x)的最大值为5.
15.设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y＝f(x)在点A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为 ．
【答案】
16.【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数,,其中,为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时,；
（3）确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立.
【解析】（1）由,得.
当时,在成立,则为上的减函数；
当时,由,得,
∴当时,,当时,.
则在上为减函数,在上为增函数.
综上,当时,为上的减函数；当时,在上为减函数,在
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上为增函数.
（3）由,得.
设,由题意知,在内恒成立.
∵,∴有在内恒成立.
令,则,
当时,,
令,,函数在上单调递增.∴.
又,,∴,.
综上所述,,,在区间单调递增,
∴,即在区间单调递增,∴.
17.【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数(其中).
(Ⅰ) 当时,若在其定义域内为单调函数,求的取值范围；
(Ⅱ) 当时,是否存在实数,使得当时,不等式恒成立,如果存在,求的取值范围,如果不存在,说明理由（其中是自然对数的底数,＝2.71828…）.
【解析】(Ⅰ) 由题,,.
①当时,知,则是单调递减函数；
②当时,只有对于,不等式恒成立,才能使为单调函数,只需,解之得,此时．
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综上所述,的取值范围是． (Ⅱ) ,其中,．
(ⅰ) 当时,,于是在上为减函数,则在上也为减函数,
知恒成立,不合题意,舍去． (ⅱ) 当时,由得．列表得
(0,)
(,)
＋
0
－
↗
极大值
↘
①若,即,则在上单调递减,
知,而,
于是恒成立,不合题意,舍去．②若,即,
则在(,)上为增函数,在(,)上为减函数,
要使在恒有恒成立,则必有
则所以由于,则,所以．
18. 【2017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数
当时,求的单调区间；
当时,的图象恒在的图象上方,求的取值范围.
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(i) 当时,,故：
时,,单调递增,
时,,单调递减,
时,,单调递增；
(ii) 当时,, 恒成立,
在上单调递增,无减区间；
综上,当时,的单调增区间是,单调减区间是；
当时,的单调增区间是,单调减区间是；
当时,的单调增区间是,无减区间.
由知
当时,的图象恒在的图象上方,
即对恒成立
即 对恒成立
记 ,
(i) 当时,恒成立,在上单调递增,
, 在上单调递增
,符合题意；
(ii) 当时,令得
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时,,在上单调递减
时, 在上单调递减,
时,,不符合题意
综上可得的取值范围是.
19. 【2017广东省惠州市第二次调研】已知函数,.
（Ⅰ）函数的图象与的图象无公共点,求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方？若存在,请求出整数的最大值；若不存在,请说理由.
（参考数据：,,）.
【解析】（Ⅰ）函数与无公共点,等价于方程在无解
令,则令得
[]
＋
0
－
增
极大值
减
因为是唯一的极大值点,故……………4分
故要使方程在无解,
当且仅当,故实数的取值范围为
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20.【2017河南省天一大联考】已知函数．
（1）当时,求函数在区间上的最大值与最小值；
（2）若在上存在,使得成立,求的取值范围．
【解析】（1）当时,,
,
令,得,
当变化时,,的变化情况如下表：
1
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0
极小值
因为,,
,
所以在区间上的最大值与最小值分别为：
,．
（2）设．若在上存在,使得,即成立,则只需要函数在上的最小值小于零．
又,
令,得（舍去）或．
①当,即时,在上单调递减,
故在上的最小值为,由,可得．
因为,所以．
②当,即时,在上单调递增,
故在上的最小值为,由,
可得（满足）．
③当,即时,在上单调递减,在上单调递增,故在上的最小值为．
因为,所以,
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所以,即,不满足题意,舍去．
综上可得或,
所以实数的取值范围为．
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