问题46 数学文化
一、考情分析
2016年10月8号,教育部考试中心公布了[2016]第179号文件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》,对数学增加了数学文化的要求.这一文件的公布,是从考试命题的角度第一次非常正式地明确要求要把数学文化渗透入数学试题,故从2017年开始每年全国卷中都有与数学文化有关的试题.
三、知识拓展
1.中国古代著名数学著作
(1)《张丘建算经》
《张丘建算经》共有三卷,约成书于公元466～485年间.张丘建,北魏时清河(今山东临清一带)人,生平不详.其中,最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就.“百鸡术”是世界著名的不定方程问题.
（2）《四元玉鉴》
作者朱世杰（1300前后）,字汉卿,号松庭,寓居燕山.数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）.《算学启蒙》是一部通俗数学名著,曾流传海外,影响了朝鲜、日本数学的发展.
《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志,其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）
（3）《黄帝九章算经细草》
作者贾宪,北宋人,约于1050年左右完成〈〈黄帝九章算经细草〉〉,原书佚失,但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录,因能传世.杨辉〈〈详解九章算法〉〉（1261）载有“开方作法本源”图,注明“贾宪用此术”,这就是著名的“贾宪三角”,或称“杨辉三角”.〈〈详解九章算法〉〉同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”.
（4）《数书九章》
作者秦九韶（约1202～1261）,字道吉,四川安岳人.秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.他早年在杭州“访习于太史,又尝从隐君子受数学”,1247年写成著名的《数书九章》.《数书九章》全书共18卷,81题,分九大类（大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易）.其最重要的数学成就——“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法）,使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位.
（5）《九章算术注》,《海岛算经》,《九章重差图》
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作者刘徽（约公元225年—295年）,汉族,山东邹平县人,是中国数学史上一个非常伟大的数学家,他的杰作是中国最宝贵的数学遗产,《重差》原为《九章算术注》的第十卷,即后来的《海岛算经》,内容是测量目标物的高和远的计算方法.重差法是测量数学中的重要方法.
《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现.刘徽集各家优秀思想方法,并加以创新而用于数学研究,使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化,并上升到了一个新的阶段,他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表,也堪称是世界数学泰斗.
理论体系：①在数系理论方面
用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算,以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中,他从开方不尽的意义出发,论述了无理方根的存在,并引进了新数,创造了用十进分数无限逼近无理根的方法.
②在筹式演算理论方面
先给率以比较明确的定义,又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础,建立了数与式运算的统一的理论基础,他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”,即现代数学中线性方程组的增广矩阵.
③在勾股理论方面
逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理,建立了相似勾股形理论,发展了勾股测量术,通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析,形成了中国特色的相似理论.
④在面积与体积理论方面
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理,并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题.这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉.
二是在继承的基础上提出了自己的创见.这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率
他在《九章算术·圆田术》注中,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法.他首先从圆内接六边形开始割圆,每次边数倍增,算到192边形的面积,得到π=157/50=3.14,又算到3072边形的面积,得到π=3927/1250=3.1416,称为“徽率”.
②刘徽原理
在《九章算术·阳马术》注中,他在用无限分割的方法解决锥体体积时,提出了关于多面体体积计算的刘徽原理.
③“牟合方盖”说
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在《九章算术·开立圆术》注中,他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性,并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型.“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分.
④方程新术
在《九章算术·方程术》注中,他提出了解线性方程组的新方法,运用了比率算法的思想.
⑤重差术
在白撰中,他提出了重差术,采用了重表、连索和累矩等测高测远方法.他还运用“类推衍化”的方法,使重差术由两次测望,发展为“三望”、“四望”.而印度在7世纪,欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题.
四、题型分析
一、数列与数学文化
【例1】【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，，故，利用裂项相消法可得，代入选项检验即可.
【解析】∵
∴，
∴，
而
∴，
，
即，
当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；
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当n=9时，左边=，右边=，显然适合，
故最小正整数的值9
故选：B
【点评】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
【牛刀小试】1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤；在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间3尺的重量为
A. 6斤 B. 9斤 C. 10斤 D. 12斤
【答案】B
【解析】试题分析：此问题是一个等差数列,设首项为,则,∴中间尺的重量为斤．故选：B．
二、立体几何与数学文化
【例2】【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺,问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）
A．40 B．43 C．46 D．47
【答案】C
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【分析】画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可.
【解析】
由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，
，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,
梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，
三个梯形的面积之和为,
故选C.
【小试牛刀】15. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下底面宽丈,长丈,上棱丈,.与平面的距离为1丈,问它的体积是
A. 4立方丈 B. 5立方丈
C. 6立方丈 D. 8立方丈
【答案】B
【解析】
延长EF、FE分别到H、G,且|FH|=|EG|=1,则该几何体为直三棱柱,三棱锥F-BCH的体积为 ,三棱柱的体积为
18
,所以所求体积为 .故选B.
三、概率与数学文化
【例3】【2019届广东省数学模拟试卷（一)】古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（ ）（参考数据：2.236）
A．0.236 B．0.382 C．0.472 D．0.618
【答案】A
【分析】由勾股定理可得：AC＝ ，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得概率约为 ＝0.236．
【解析】由勾股定理可得：AC＝ ，由图可知：BC＝CD＝1，AD＝AE＝≈1.236，BE≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为＝=0.236，
故选：A．
【小试牛刀】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【解析】
由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．
由古典概型概率公式可得，所求概率为．
故选A．
四、框图与数学文化
【例4】【安徽省皖江名校2019届高三开学考】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）
A．47 B．48 C．39 D．40
【答案】A
【分析】按照程序框图逐步执行，即可求出结果.
【解析】执行程序框图如下：
初始值，执行循环体；
，执行循环体；
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，执行循环体；
，结束循环， .
输出.
故选A
【小试牛刀】【湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研】关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计的值如图若电脑输出的的值为29，那么可以估计的值约为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意知，100对之间的均匀随机数,
18
满足，
满足，满足的点的面积为：，
如图阴影部分所示；
因为共产生了100对内的随机数，
由程序框图可得能使，且的有对，
所以，
解得．
故选A．
四、迁移运用
1．【湖北省恩施州2019届高三2月教学质量检测】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（ ）
A．9 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】
根据题意设每天派出的人数组成数列，
分析可得数列是首项，公差的等差数列，
该问题中的1864人全部派遣到位的天数为，则，
依次将选项中的值代入检验得，满足方程，故选B.
2．【山东省潍坊市2019届高三一模】如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的
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圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则（ ）
A．33 B．31 C．17 D．15
【答案】D
【解析】
设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n﹣1），
则有P（n）＝2P（n﹣1）+1，
则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]，又P（1）＝1，
即是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，
由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，
即P（4）＝24﹣1＝15，
故选：D．
3．【湘赣十四校2019届高三下学期第一次联考】《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ）
A．46 B．12 C．11 D．2
【答案】B
【解析】
设每个人所得面包数，自少而多分别为：且成等差数列
由题意可知：，
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设公差为，可知：
所以最少的一份面包数为
本题正确选项：
4．【陕西省榆林市2018-2019年度高三第二次模拟】《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在租的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）
A．斤 B． 斤 C．斤 D．斤
【答案】B
【解析】
设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.
故选：B
5．【广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研】2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由时，，
可得 ，
时，，可得,排除，
由，可排除,故选C.
6．【河南省八市重点高中2018-2019学年高三第二次联合测评】《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何
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其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【解析】
由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，
则，解得，
由等比数列的性质可得．
故选：B．
7．【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为( )
A．64 B．68
C．72 D．133
【答案】B
【解析】由题意可得：输入n=5，x=2，
第一次循环，v=4，m=1，n=4，继续循环；
第二次循环，v=9，m=0，n=3，继续循环；
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第三次循环，v=18，m=-1，n=2，继续循环；
第四次循环，v=35，m=-2，n=1，继续循环；
第五次循环，v=68，m=-3，n=0，跳出循环；
输出v=68，
故选B.
8．【陕西省2019届高三第二次教学质量检测】陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言。景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件数量为
取出两种物质恰好相克的基本事件数量为
则取出两种物质恰好是相克关系的概率为
所以选B
9．【江西省九江市2019届高三第一次高考模拟】洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右
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七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，
其中满足题意的取法有两种：4，6和2，8，
∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率p．
故选：D．
10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图）,由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为
A. 6平方米 B. 9平方米 C. 12平方米 D. 15平方米
【答案】B
【解析】因为圆心角为,半径等于4米,所以圆心到弦的距离为|OB|=2, ,所以矢等于4-2=2米,弦长为 所以弧田的面积约为 ,故选B.
11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为
A. 24里 B. 12里 C. 6里 D. 3里
【答案】C
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【解析】试题分析：记每天走的路程里数为,易知是公比的等比数列,,,故选 C.
12.公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n值为 (参考数据：,,)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 时,
时,
时,,输出n,n=24.故选B.
13.远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满七进一,根据图示可知,孩子已经出生的天数
A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603
【答案】B
【解析】试题分析：由题意满七进一,可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.
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14.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有周长为的满足,试用以上给出的公式求得的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题
15.埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外,其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包,要平均分给5个人,如果每人,不够,每人,余,再将这分成5份,每人得,这样每人分得．形如的分数的分解：按此规律,____________；____________．
【答案】 (1). ； (2).
【解析】表示两个面包分给7个人,每人,不够,每人,余 ,再将这分成7份,每人得,其中 . 表示两个面包分给9个人,每人,不够,每人,余 ,再将这分成9份,每人得,其中, .按此规律, 表示两个面包分给11个人,每人,不够,每人,余 ,再将这分成11份,每人得,所以,其中, .
18
.
16.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）
【答案】
【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球.设其半径为R, ,所以该球形容器的表面积的最小值为 .
17.艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足,我们把该数列称为牛顿数列.
如果函数有两个零点1,2,数列为牛顿数列,设,已知,则的通项公式__________．
【答案】
【解析】 函数有两个零点1,2,
,解得： .
18
则 .
则
则是以 为公比的等比数列,
,且 ,
数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列,
则 ,故答案为：.
18.公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”,此即,欧几里得未给出的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解,他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中, 表示底面圆的直径；在正方体中, 表示棱长）.假设运用次体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面积的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、,那么__________．
【答案】
【解析】 由题意得,球的体积为； 、
等边圆柱的体积为；
正方体的体积,所以.
18
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