问题12 三角形中的不等问题
一、考情分析
根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.
二、经验分享
(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件．
(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.
(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．
三、知识拓展
(1)若△ABC是锐角三角形,则,、
(2)若△ABC中,若A是锐角,则；若A是钝角,则
(3) △ABC中,若,则, , =.
(4)若成等差数列,则.
四、题型分析
(一) 角或角的三角函数的范围或最值
【例1】【湖北省2019届高三1月联考】在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tanA＝3tanB，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．
【解析】∵acosB﹣bcosA，∴由正弦定理化简得：sinAcosB﹣sinBcosAsinCsin（A+B）
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sinAcosBcosAsinB，整理得：sinAcosB＝3cosAsinB，
∴cosAcosB＞0，∴tanA＝3tanB；
∴则222．
∴可得的最小值为．故选D．
【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.
【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 ①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将表示为关于的函数,再根据方法⑤解答的.
【小试牛刀】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟】的内角所对的边分别为，已知，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，因为，所以，由余弦定理，得，即.
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(三) 周长的范围或最值
【例3】【2018届江西省K12联盟高三教育质量检测】在锐角中, ,.
（1）若的面积等于,求、；
（2）求的周长的取值范围.
【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；
（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．
（2）由正弦定理得, ,记周长为,则
,
又,
,
为锐角三角形,
.
【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.
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【小试牛刀】中,角、、所对的边为、、,且．
（1）求角；
（2）若,求的周长的最大值．
【答案】（1）；（2）6．
(四) 面积的范围与最值
【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,∠POQ＝90°,OP＝2,点M在线段PQ上．
(1)若,求PM的长；
(2)若点N在线段MQ上,且∠MON＝30°,问：当∠POM取何值时,△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题求△OMN的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN的面积表示为∠POM的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为∠POM的函数是关键.
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【解析】(1)在中, ,,,
由余弦定理得, ,
得, 解得或．
由,不妨设外接圆的半径R＝3．则OA＝OB＝OC＝3．
∵cos∠COD＝,∴OD＝1,DC＝＝2．
∴B(−2,0),C(2,0),O(0,1),A(m,n)．
则△ABC外接圆的方程为：x2＋(y－1)2＝9．(*)
∵,
∴(－m,1－n)＝x(−2−m,−n)＋y(2−m,−n),
∴’
∵时,否则,由图可知是不可能的.
∴可化为,代入(*)可得,
化为18(x＋y)＝9＋32xy,
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【答案】D
【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题.
【小试牛刀】【山东省日照2019届高三上学期第二次检测】已知M是△ABC内的一点，且=4，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9
【答案】D
【解析】因为=4，∠BAC=30°，所以。
所以。
因为△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，所以，所以 。
所以。
当且仅当 即时，上式取“=”号。
所以， 时，取最小值9.故选D。
7．【2018届四川省绵阳市高三二诊】在中, 分别为所对的边,若函数有极值点,则的最小值是（ ）
A. 0 B. C. D. -1
【答案】D
【解析】,∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac）,
又∵函数有极值点,∴x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根,∴△=（2b）2-4（a2+c2-ac）＞0,即ac＞a2+c2-b2,即ac＞2accosB；即cosB＜
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,故∠B的范围是（所以 ,当时的最小值是-1,故选D
8．【2018届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测】在中,角的对边分别为,且,若的面积为,则的最小值为（ ）
A. 28 B. 36 C. 48 D. 56
【答案】C
9．【2018四川省成都市高三上学期12月月考】锐角中,内角, , 的对边分别为, , ,且满足,若,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,由正弦定理可得, ,化为,由余弦定理可得,为锐角,可得, 由正弦定理可得,可得
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, ,可得, ,可得,故选A.
10.【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】在锐角中,若,则的范围是（,分别为角,的对边长）（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
11.【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考试】如图所示,在平面四边形中, , ,为正三角形,则面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】在△ABC中,设∠ACB=α,∠ACB=β,由余弦定理得：
AC2=12+22−2×1×2cosα=5−4cosα,∵△ACD为正三角形,∴CD2=5−4cosα,
由正弦定理得： ,∴AC⋅sinβ=sinα,∴CD⋅sinβ=sinα,
∵(CD⋅cosβ)2=CD2(1−sin2β)=CD2−sin2α=5−4cosα−sin2α=(2−cosα)2
∵β
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