问题01 数集与点集的运算
一、考情分析
集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中．
二、经验分享
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别：
①；②；③；④.
(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程的整数解集可表示为.
(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.
(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．
(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．
三、知识拓展
1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .
3．奇数集：.
4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:
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若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.
四、题型分析
(一)与数集有关的基本运算
【例1】【2018年理新课标I卷】已知集合，则
A. B.
C. D.
【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．
【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合,,则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,所以,.
故选A.
(二)与点集有关的基本运算
【例2】已知,则（ ）
A．－2 B．－6 C．2 D．一2或－6
【分析】首先分析集合是除去点的直线,集合表示过定点的直线,
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等价于两条直线平行或者直线过,进而列方程求的值．
【解析】由若,则①：点在直线上,即；②：直线与直线平行,∴,
∴或.
【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键．
【小试牛刀】【2018年理数全国卷II】已知集合，则中元素的个数为
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】，当时，；当时，；
当时，；所以共有9个，选A.
(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围
【例3】设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( )
A．(－∞,2) B．(－∞,2] C．(2,＋∞) D．[2,＋∞)
【分析】先得到A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.
【点评】求解本题的关键是对a进行讨论.
【小试牛刀】已知P＝{x|2
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