问题03 函数性质的灵活应用
一、考情分析
函数是整个高中数学的核心内容,是高中数学的主线,所有知识均可与函数建立联系,都可围绕这一主线展开学习考查,它贯穿于中学数学的始末,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,有选择题,填空题,也有解答题；有基础题,也有难度较大的试题.
二、经验分享
(1) 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.
(2) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
(3) 解函数不等式问题的一般步骤：
第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)0)．
(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．
(4)若,则T＝6a(a>0)．
(5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．
(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)．
2．函数对称性与函数周期性的关系
(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
3.函数是一个奇特的函数，该函数是偶函数，是周期函数，但没有最小正周期，也无法作出其图象.
4. 设是定义在M上的函数,若与的单调性相反,则在M上是减函数；若与的单调性相同,则在M上是增函数,简称同增异减.
5. 对称性的一般结论
①若,则图像关于直线对称；
②与的图像关于直线（即 ）对称.
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四、题型分析
(一) 函数单调性的灵活应用
【例1】如果对定义在上的函数,对任意两个不相等的实数,都有,则称函数为“函数”.
给出下列函数①;②;③;④. 以上函数是“函数”的所有序号为 .
【分析】本题的重点和难点均为对“函数”本质的认识和理解,即如何处理和转化题中所给不等式：,采用合并重组的方法进行处理,得 ,由单调性定义的本质,可以看出“函数”本质上就是个单调递增函数.
当x0为增函数,不符合,故选①③.
【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法,图像法,导数法）,学生在初步理解时可能有一种无从入手的感觉,如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话,则将无法完成此题了,可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质.
【小试牛刀】【2018届福建闽侯高三12月月考】已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
(二) 函数奇偶性的灵活应用
【例2】已知函数（）,,则（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把分离常数,得,根据奇函数性质可得
【答案】C
【解析】,
令,则为奇函数,,
,,故选C.
【点评】本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽,只有通过分离常数,才能看出是一个常数函数与一个奇函数的和,故本题对能力要求较高.
【小试牛刀】【2018四川成都考前模拟】已知函数y=f（x）为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g（x）=f（x﹣5）+x，数列{an}为等差数列，且公差不为0，若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，则a1+a2+…+a9=（ ）
A． 45 B． 15 C． 10 D． 0
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【答案】A
(三) 函数单调性与奇偶性的综合应用
函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数在某区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质,主要讨论的是函数的对称性．函数的这两个基本性质应用灵活、广泛.
【例3】设是定义在R上的奇函数,且当,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是 ．
【分析】本题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式（一个分段函数）,此时画出它的图象,就能发现它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式中,的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征,发现满足：,最后结合单调性,转化一个恒成立问题,利用分离参数的方法求出t的范围.
【解析】∵是定义在R上的奇函数,且当 时,
∴当x＜0,有-x＞0,,
∴,即,
∴,∴在R上是单调递增函数,
且满足,
∵不等式在[t,t+2]恒成立,
∴x+tx在[t,t+2]恒成立,
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解得在[t,t+2]恒成立,
∴
解得：,则实数t的取值范围是：[）．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发现它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,本题最后转化成一个恒成立问题,运用分离参数的方法求解的,这正说明函数性质的应用是十分广泛的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.
【小试牛刀】设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解法二：把代入,得,这显然不成立,所以不满足, 由此可排除D；又,,,所以不满足, 由此可排除B,C,故选A.
(四) 函数性质的综合运用
【例4】已知定义在R上的函数满足为奇函数,函数关于直线对称,则下列式子一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【分析】由题中函数满足为奇函数,结合奇函数的定义转化可得：,再由条件：函数关于直线对称,结合对称性的规律可得：
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,最后由周期性的概念可转化为：,可见函数的周期为8,即可求解.
【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力,考查了函数的奇偶性、对称性和周期性,要想顺利完成本题有一个难点：为奇函数的处理,这要对奇函数定义本质有充分的理解,函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一起,这也正是此类题目一般较难的原因,在我们复习备考中一定要加强对所学概念本质的理解,这并非一日之功了,须注意平时的积累和磨炼.
【小试牛刀】【2018湖北襄阳调研】若函数对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得成立，则称f (x)为“自倒函数”．给出下列命题：
①是自倒函数；
②自倒函数f (x)可以是奇函数；
③自倒函数f (x)的值域可以是R；
④若都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数．
则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号)．
【答案】①②
【解析】为上的单调函数，否则方程 不止一个实数解．对于①，在是单调增函数，且其值域为，对于任意的，则 ，故 在有唯一解，①正确；对于②，取 ， ， 的值域为，因为在和都是单调减函数，故对于， 有唯一解 ， ，
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为“自倒函数”，②正确；对于③，如果的值域为，取， 无解，③不正确；④取，其中，它们都是“自倒函数”，但是，这是常数函数，它不是“自倒函数 ” ．
在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.
(1)一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小；
(2)画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.
五、迁移运用
1．【2019广东六校第一次联考】定义在上的函数满足及，且在上有，则
A． B． C． D．
【答案】D
，
在上有，
，
，故选D.
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2．【2019安徽肥东8月调研】已知函数 且的最大值为,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．【2019安徽定远第一次月考】已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，函数的定义域为R．
∵
，
∴函数为奇函数．
又根据复合函数的单调性可得，函数在定义域上单调递增．
由得，
∴，解得，
∴不等式的解集为．故选C．
4．【2018山西运城模拟】是函数的零点，，则① ② ③④，其中正确的命题为
A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④
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【答案】B
5．【2018广东广州七校联考】已知都是定义域为的连续函数．已知：满足：①当时，恒成立；②都有．满足：①都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），
∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），
∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈恒成立⇔|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，
由f（x+）=f（x﹣），得f（x+2）=f（x），
即函数f（x）的周期T=2，
∵x∈[﹣，]时，f（x）=x3﹣3x，
求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣，0），（0，0），（，0），
且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，
在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，
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即函数f（x）在R上的最大值为2，
∵x∈，函数的周期是2，
∴当x∈时，函数f（x）的最大值为2，
由2≤|a2﹣a+2|，即2≤a2﹣a+2，
则a2﹣a≥0，
解得：a≥1或a≤0．
故答案为：D
6．【2018四川成都模拟】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，存在，
使得，
符合题意，排除选项；
因为函数，
所以函数是奇函数，也是增函数，
当时，要使，
则，
可得，即，
显然方程无解，不成立，
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不合题意，排除选项，故选A.
7．已知二次函数，定义，，其中表示中的较大者，表示中的较小者，下列命题正确的是
A． 若，则 B． 若，则
C． 若，则 D． 若，则
【答案】C
8. 函数是上的单调递减函数,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是上的单调递减函数,∴,故选D．
9. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足,,数列满足,且,（其中为的前项和）,则( )．
A． B． C． D．
【答案】C
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【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知,= ==,所以= = = =,所以的周期为3,由得,,当n≥2时,=,所以=,所以=-3,=-7,=-15,=-31,=-63,所以 ====3,故选C.
10.【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知函数 满足条件,其中,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
11．【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练】定义区间的长度为（）,函数的定义域与值域都是,则区间取最大长度时实数的值为（ ）
A． B．-3 C．1 D．3
【答案】D
【解析】设是已知函数定义域的子集．,或,故函数在上单调递增,则,故是方程
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的同号的相异实数根,即的同号的相异实数根,∵,∴同号,只需,∴或,,取最大值为．此时,故选：D．
12．【2018届云南省玉溪市期中】函数的值域是,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】∵.∴当时, ∵.
∴当时, 即.∴∴故答案为.
13．【2018届湖北省潜江市高三期中】若函数是偶函数，则函数的最小值为____________.
【答案】
14．【2018届福建省闽侯市高三12月月考】已知是上的减函数， 是其图像上两个点，则不等式的解集是__________ ．
【答案】
【解析】 因为不等式，所以， 因为是其图象上两个点，所以， 所以可化为， 因为是上的减函数，所以，化为，解得， 所以不等式的解集是.
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15.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知函数为奇函数,则 __________.
【答案】
【解析】．
16. 已知函数的图象关于点中心对称,设关于的不等式的解集为,若,则实数的取值范围是 ．
【答案】或
17. 已知函数为奇函数,且对定义域内的任意x都有．当时,
给出以下4个结论：
①函数的图象关于点(k,0)(kZ)成中心对称；
②函数是以2为周期的周期函数；
③当时,；
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④函数在(k,k+1)( kZ)上单调递增．
其一中所有正确结论的序号为
【答案】①②③
【解析】由题设为奇函数,其图象关于原点中心对称,
又对定义域内的任意x都有,所以其图象还关于点,据此可判断函数为周期函数,最小正周期,又当时,,因此可画出函数的图象大致如下图一所示,函数的图象如下图二所示,函数的图象如下图三所示,
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由图象可知①②正确,④不正确；另外,当时,
所以,,又因为是以2这周期的奇函数
所以,,所以,,所以,,所以③也正确,故答案应填：①②③
18. 设奇函数,且对任意的实数当时,都有
(1)若,试比较的大小；
(2)若存在实数使得不等式成立,试求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由已知得,又 ,
,即
19.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1,f(x－1)
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