问题29立体几何中的最值问题
一、考情分析
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值.
纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．
二、经验分享
1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：
(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.
(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.
(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如 最小角定理所建立的不等关系等等.
(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易.
(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.
除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在.
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2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解
3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径
三、题型分析
(一) 距离最值问题
1.空间中两点间距离的最值问题
【例1】正方体的棱长为1,、分别在线段与上,求的最小值.
【分析】方法一,该题可以结合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离来求；方法二,可设出变量,构建相应的函数,利用函数的最值求解；方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值.
【解析】方法一（定义转化法）因为直线与是异面直线,所以当是两直线的共垂线段时,取得最小值.
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取的中点,的中点.则线段就是两异面直线与的共垂线段.下证明之.
在矩形中,为中位线,所以,
又因为平面,所以平面
又因为平面,
所以.
同理可证,
而, ,
所以线段就是两异面直线与的共垂线段,且.
由异面直线公垂线段的定义可得,故的最小值为1.
方法二：（参数法）如图,取的中点,的中点.则线段就是两异面直线与的共垂线段.由正方体的棱长为1可得.
连结,则,所以为两异面直线与所成角.
在正方形中,,所以.
过点作,垂足为,连结,则,且.
设,,则.
在中, ,
在中,.
显然,当时,取得最小值1,即的最小值为1.
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方法三：（向量法）如图,以D为坐标原点,分别以射线、、为、、轴建立空间直角坐标系.设,.
则,即；
,即.
所以
,
故当时,取得最小值1,即的最小值为1.
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【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.
【小试牛刀】【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】结合题意，绘制图形
结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得
，解得，故选B。
2.几何体表面上的最短距离问题
【例2】正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长均为2,M为AA1中点,N为BC的中点,则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.
【分析】将正三棱柱的表面展开,即可转化为平面内两点间距离的最小值问题求解.注意两种不同的展开方式的比较.
【解析】 (1)从侧面到N,如图1,沿棱柱的侧棱AA1剪开,并展开,
则.
(2)从底面到N点,沿棱柱的AC、BC剪开、展开,如图2.
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则
.
∵
∴.
图（1） 图（2）
【点评】求解几何体表面上的最短距离问题,往往需要将几何体的侧面或表面展开,将问题转化为平面图形中的最值,进而利用平面几何中的相关结论判断并求解最值.如【典例2】中就是利用了平面内两点间线段最短来确定最值,但要注意几何体表面的展开方式可能有多种,求解相关最值时,需要比较才能得到正确结论.
【小试牛刀】在侧棱长为的正三棱锥中, ,过作截面,交于,交于,则截面周长的最小值为__________．
【答案】6
【解析】将棱锥的侧面沿侧棱展开,如图,的长就是截面周长的最小值,由题意,由等腰三角形的性质得.
(二) 面积的最值
1.旋转体中面积的最值
【例3】一个圆锥轴截面的顶角为,母线为2,过顶点作圆锥的截面中,最大截面面积为 .
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【分析】本题是截面问题中的常见题,应根据几何体的结构特征确定截面形状,然后求解截面的数字特征,进而确定其最值.
【解析】设圆锥的轴截面顶角是,母线长为,
则截面面积的最大值为.
由题意可知圆锥的轴截面顶角为,
∴最大面积为.
【点评】由圆锥的性质可知,过圆锥顶点的截面一定是等腰三角形,且腰长等于圆锥的母线长,该等腰三角形的顶角的最大值为轴截面的顶角,所以截面面积的最大值取决于轴截面顶角的取值范围,不能误认为轴截面的面积就是最大值.
【小试牛刀】圆柱轴截面的周长为定值,求圆柱侧面积的最大值.
【解析】设圆柱的底面直径为,高为.
则由题意得：.
所以.
而圆柱的侧面积为.
由均值不等式可得,即（当且仅当时等号成立）.
所以圆柱侧面积为,即圆柱侧面积的最大值为.
2.多面体中的面积最值
【例4】如图中1所示,边长AC＝3,BC＝4,AB＝5的三角形简易遮阳棚,其A、B是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30°角,试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时,才能保证所遮影面ABD面积最大?
【分析】首先分析几何体的结构特征,明确
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遮影面ABD中的定值——AB,则所求最值问题转化为该边上的高的最值,进而根据已知——太阳光的照射角度将其与中AB上的高建立联系,从而确定最值.
【解析】 易知,ΔABC为直角三角形,由C点引AB的垂线,垂足为Q,则应有DQ为CQ在地面上的斜射影,且AB垂直于平面CQD,如图2所示.
因太阳光与地面成30°角,所以∠CDQ＝30°,
又知在ΔCQD中,CQ＝,
由正弦定理,有＝, 即 QD＝sin∠QCD.
为使面ABD的面积最大,需QD最大,
只有当∠QCD＝90°时才可达到,从而∠CQD＝60°.
故当遮阳棚ABC与地面成60°角时,才能保证所遮影面ABD面积最大.
【点评】求解几何体中的面积最值,首先要明确所求图形面积的表示式,区分该图形中的定值与变量,然后根据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可.如该题中抓住QD的变化,建立与已知——太阳光的照射角的关系是准确确定最值的关键所在.
【小试牛刀】在三棱锥A—BCD中,ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形,求三棱锥的全面积的最大值.
【解析】 如图,取BC中点M,连AM、DM,∴ΔABC和ΔBCD都是正三角形,
∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角,设∠AMD＝,
又∵ΔABD≌ΔACD,且当∠ACD＝90°时,ΔACD和ΔABD面积最大,此时AD＝a,
在ΔAMD中,由余弦定理cos∠AMD＝-,
∴当时,三棱锥A-BCD的全面积最大.
(三) 体积的最值问题
【例5】如图3,已知在中,,平面ABC,于E,于F, ,,当变化时,求三棱锥体积的最大值.
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图3
【分析】的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的,要求三棱锥P-AEF的体积,则需找到三棱锥P-AEF的底面积和高,高为定值时,底面积最大,则体积最大.
【解析】因为平面ABC,平面ABC,所以
又因为,所以平面PAC,又平面PAC,所以,
又,所以平面PBC,即.EF是AE在平面PBC上的射影,因为,所以,即平面AEF.在三棱锥中, ,
所以,
,因为,所以
因此,当时,取得最大值为.
【点评】几何体体积的最值问题的解决,要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式,分清定量与变量,然后根据变量的取值情况,利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【小试牛刀】【重庆市九龙坡区2019届期末】我国古代数学名著九章算术
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中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，，，当堑堵的外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】堑堵的外接球的体积为，
其外接球的半径，即，
又，．
则．
．
即阳马体积的最大值为．
故选D．
(四) 角的最值
【例6】如图,在四棱锥S － ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面
ABCD,AB垂直于AD和BC,SA =AB=BC =2,AD =1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为,求sin的最大值,
【分析】直接根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标和向量坐标,利用向量运算进行证明计算即可.
【解析】
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（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为,
则,即.
平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.
（Ⅲ）设,则.
又,面SAB的法向量为,
所以,.
.
当,即时,.
【小试牛刀】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是A1B1上的一动点,平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α、β,试求α+β的最大值和最小值.
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解析：如图.对角面A1B1CD⊥对角面ABC1D1,其交线为EF.过P作PQ⊥EF于Q,则PQ⊥对角面ABC1D1.分别连PE、PF.∵EF⊥AD1,PE⊥AD1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ＝α,
同理,∠PFQ＝β.设A1P＝x,(0≤x≤1),则PB1＝1-x.
∵EQ＝A1P,QF＝PB1,PQ＝,∴当0＜x＜1时,有tanα＝,tanβ＝,
∴tan(α+β)＝＝
＝,而当x＝0时α＝,tan(α+β)＝tan(+β)＝-cotβ＝-＝-,上式仍成立；类似地可以验证.当x＝1时,上式也成立,于是,当x＝时,tan(α+β)取最小值-2；当x＝0或1时,tan(α+β)取最大值-.
又∵ 0＜α+β＜π,∴(α+β)max＝π-arctan,(α+β)min＝π-arctan2.
五、迁移运用
1．【湖北省荆门市2019届高三月考】在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，
所以,
所以,即 ,
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令点P在DC上的投影点为O，，，
所以，
整理得，
根据函数单调性可得当时，有最大值为16，所以 的最大值为，
因为,
所以三棱锥体积最大值为：，故选D。
2．【江西省南昌市2018届测试】如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当斜面α经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8此时作正四棱台俯视图如下：
则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5
因为正四棱台的高为5，所以截面等腰梯形的高为
所以截面面积的最大值为
所以选B
3．【湖南省益阳市2019届高三上学期期末】直三棱柱外接球表面积为，，若
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，矩形外接圆的半径分别为，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由外接球表面积为，可得外接球半径为2.设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，
，
，，当且仅当时取等号.
故选.
4．【北京市丰台区2019届高三第一学期期末】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
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延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，
直线与平面不存在公共点，
所以平面,
由中位线定理可得,
在平面内，
在平面外，
所以平面,
因为与在平面内相交，
所以平面平面,
所以在上时，直线与平面不存在公共点，
因为与垂直，所以与重合时最小，
此时，三角形的面积最小，
最小值为，故选C.
5．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a＜2．
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取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,
∴
，当且仅当4即时，等号成立，
∴此三棱锥体积的取值范围是
故选：
6．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则P（0，0，2），C（4，4，0），D1（0，4，4），
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设M（a，0，b），则（a，﹣4，b﹣4），（﹣4，﹣4，2），
∵D1M⊥CP，∴4a+16+2b﹣8＝0，即b＝2a﹣4．
取AB的中点N，连结B1N，则M点轨迹为线段B1N，
过B作BQ⊥B1N，则BQ．
又BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥BQ，
∴S△BCM的最小值为S△QBC．
故选：．
7.【2018北京市首师附高三理零模】在棱长为的正方体中,点分别是线段（不包括端点）上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 由题意在棱长为的正方体中，点分别是线段上的动点，
且线段平行于平面，
设，即到平面的距离为，
所以四棱锥的体积为，
当时，体积取得最大值，故选A．
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8.【2018年江西省抚州市高三八校联考】如图，在长方体中，,,，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界).若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 取中点，在上取点，使得，连结，
则平面平面，
因为是侧面内的一动点（含边界），平面，
所以，
所以当与的中点重合时，线段长度取最小值，
当与点或点重合时，线段长度取得最大值或，
因为长方体中，，
点是棱的中点，点在棱上，且满足,
所以，
，
所以线段长度的取值范围是，故选A.
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9.如图，在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体P－QEF的体积 ( )
A. 是变量且有最大值 B. 是变量且有最小值
C. 是变量且有最大值和最小值 D. 是常量
【答案】D
【解析】因为EF＝2，点Q到AB的距离为定值，
∴△QEF的面积为定值，设为S．
又D1C1∥AB，D1C1平面QEF ，AB ⊂平面QEF，
∴D1C1∥平面QEF，
∴点P到平面QEF的距离也为定值，设为d．
∴四面体P－QEF的体积为定值．选D．
10.若一条直线与一个平面成角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当这个平面内经过斜足的直线与这条直线在这个平面内射影垂直时, 直线与这条直线垂直,所成角为直角,而两直线所成角范围为,所以直线与这条直线所成角最大值为,所以选B.
11.如图,在四棱锥中,侧面是边长为4的正三角形,底面为正方形,侧面⊥底面,为底面内的一个动点,且满足,则点到直线的最短距离为( )
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：设的中点为,连接,侧面是边长为4的正三角形,所以又因为侧面⊥底面,所以平面,则,由,可得,故平面,可得,所以点在平面内的轨迹是以为直径的圆,则点到直线的最短距离是圆心到直线的距离与半径的差,圆心到直线的距离是圆半径为,所以点到直线的最短距离是,故选C.
12．已知各棱长均为1的四面体ABCD中, E是AD的中点,P∈直线CE,则|BP|＋|DP|的最小值为（ ）
A．1＋ B． C． D．
【答案】B
【解析】如图,将旋转至与共面,连结,则它与的交点,即为使|BP|＋|DP|取最小值的点．
易知,
在中由余弦定理得,
从而由平方关系得,
在中由余弦定理得
,
所以．
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13.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为( )
A．(6－3)π B．(8－4)π
C．(6＋3)π D．(8＋4)π
【答案】A
【解析】选A 设球O1、球O2的半径分别为r1、r2,
则r1＋r1＋r2＋r2＝,
r1＋r2＝,
从而4π(r＋r)≥4π·＝(6－3)π.
14．【山东省日照市2017届高三下学期第一次模拟】现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为__________．
【答案】
【解析】设球半径为R，正方体边长为a，
由题意得当正方体体积最大时： R2，
∴R，
∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：
．
故答案为
15．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】三棱锥中，底面满足，，点在底面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为
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，当其外接球的表面积最小时，到底面的距离为____.
【答案】
【解析】设AC的中点为D，连接BD,PD，则平面ABC，
因为是等腰直角三角形，外接球的球心O在PD上，
设，外接球半径，
则，
因为，所以，
因为即，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
所以当外接球半径取得最小值时，，
故答案是：.
16．【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】已知正三棱柱的所有棱长为2，点分别在侧面和内，与交于点，则周长的最小值为_______．
【答案】3
【解析】设关于侧面和的对称点分别为，连结，则当共线时，周长最小，由于在正三棱柱中，点是与的交点，所以点是侧面的中心，故周长最小时分别为侧面和的中心，所以周长最小值为3.
故答案为：3
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17．【安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测】如图，三棱锥中，，，，点在侧面上，且到直线的距离为，则的最大值是_______．
【答案】
【解析】动点到直线的距离为定值
动点落在以为轴、底面半径为的圆柱的侧面上
可知侧面与三棱锥侧面的交线为椭圆的一部分
设其与的交点为，此时最大
由题意可得，点到的距离为：
则到的距离为可知：为的中点
又
在中，由余弦定理可得
本题正确结果：
18.【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________．
【答案】
【解析】不妨设在处， ，
则有由
该直角三角形斜边
故答案为.
19．如图,在棱柱的侧棱上各有一个动点,且满足,是棱
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上的动点,则的最大值是 ．
【答案】
【解析】设点到平面的距离为,三棱柱的高为, ,由点到平面的距离为,又因为,所以,所以,
,所以
,令,则函数在区间上单调递增,当时,函数有最小值,即的最大值是．
20．已知直三棱柱中, ,侧面的面积为,则直三棱柱外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据题意,设,则有,从而有其外接球的半径为,所以其比表面积的最小值为．
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