问题10 应用三角公式化简求值的技巧问题
一、考情分析
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.
二、经验分享
(1) 利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cosα,sin αcosα,sin α－cosα这三个式子,利用(sin α±cosα)2＝1±2sin αcosα,可以知一求二．
(二) 函数变换,乃是重点
三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.
【例2】若, ,则 ．
【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.
【点评】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
(2)形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα,cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解．如果分母为1,可考虑将1写成sin2α＋cos2α.(3)已知tanα＝m的条件下,求解关于sinα,cosα的齐次式问题,必须注意以下几点：①一定是关于sinα,cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cosα≠0,所以可以用cosnα(n∈N*)除之,这样可以将被求式化为关于tanα的表示式,可整体代入tanα＝m的值,从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin2α＋cos2α的运用．
【小试牛刀】设且则( )
9
A. B.
C. D.
【答案】C
(三) 常数化角,曲径通幽
三角公式中有不少常数,如1、、等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.
【例3】【广东省惠州市2019届高三第三次调研】函数在内的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将转化为正弦型或余弦型函数，再由自变量的取值范围和值域限定的取值范围。
【解析】函数
当时，，，则
解得，故的取值范围为。故选
【小试牛刀】若,且（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为, ,所以,即
9
所以
(四) 降幂化一,热点不断
三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.
【例4】【2018届晋豫省际12月大联考】定义在R上的函数,其中,且当时,.
（1）求a,b的值；
（2）若将的图像沿轴向左平移个单位,得到函数的图像,令,求的最大值.
【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．
（2）由（1）得
∵将的图像沿轴向左平移个单位,得到函数的图像
9
∴
∴
∴的最大值为
六、公式变用,柳暗花明
三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα＝,tanα±tanβ＝tan(α＋β)(1tanαtanβ)等.
【例6】的值为( )
A. B. C. D.
【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°＋50°＝60°入手,然后注意表达式特征,其中的tan10°＋tan50°和tan10°tan50°在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.
【答案】B.
【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.
总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法
【小试牛刀】的值是 （ ）
9
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】==,故选C．
五、迁移运用
1．【广东省惠州市2019届高三第三次调研】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得,所以，，
所以,故选D.
10【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角满足,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
11.4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B. C. D．2－1
【答案】C
【解析】4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－＝－＝
9
＝＝＝
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12.【2018届广西玉林市高三期中】已知,则____.
【答案】
13．【2018上海市杨浦区高三数学一模】已知函数, ,设,若函数为奇函数,则的值为________
【答案】
【解析】∵
∴
9
∵函数为奇函数
∴为奇函数,则
∵
∴
故答案为
14.函数的减区间是 ．
【答案】
【解析】,由,得,所以函数的减区间是．
15．已知,则 ．
【答案】
16.已知,求下列各式的值.
（1）；
9
（2）.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵,
∴,即,
则原式.
（2）∵,即,
∴原式.
17.已知函数．
（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；
（2）若时,函数的最大值为0,求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
9
18.已知函数(其中)的最小正周期为．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象．求函数在上零点．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 和．
【解析】(Ⅰ)
．
由最小正周期,得．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,将函数的图象向左平移个单位,
得到图象的解析式,
将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到．
由,得,
故当时,函数的零点为和．
19．已知cosα＝,cos＝,且0
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