问题37圆锥曲线中的存在、探索问题
一、考情分析
圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一 ,它是在题设条件下探索某个数学对象 (点、线、数等 )是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．
二、经验分享
解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
三、知识拓展
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：
1、条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型
29
这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一
部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。
5、规律探究型
这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供
的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明。
6、实验操作型
这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。
总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。
四、题型分析
(一) 是否存在值
【例1】已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=,过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与坐标原点距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在k值,使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值,若不存在说明理由.
29
【分析】（1）先由两点式求出直线方程,再根据离心率和点到直线距离公式列出方程解出,即可求得；（2）假设存在这样的直线,联立直线方程和椭圆方程,消去y,得到x的一元二次方程,求出两根之和和两根之积,要使以CD为直径的圆过点E,当且仅当CE⊥DE时,则,再利用y=kx+2,将上式转化,最后求得,并验证.
【解析】（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为
（2）假设存在这样的k值,由得
∴ ①
设, ,,则 ②
而 8分
要使以CD为直径的圆过点E（-1,0）,当且仅当CE⊥DE时,则,即
∴ ③
将②式代入③整理解得 经验证,,使①成立
综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E . .
【点评】解决探索性问题的注意事项
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
29
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
【小试牛刀】【安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测】已知抛物线的准线方程为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，点，连接，与抛物线分别交于，两点，直线的斜率记为，问：是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由准线方程可知：
（2）设，，，（互不相等）
则，同理
三点共线
即
同理
将抛物线与直线联立得：
由韦达定理：
(二) 是否存在点
【例2】已知点是椭圆上任一点,点到直线的距离为,到点的距离为,且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方）,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程；
29
（3）对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点？若存在,求出该定点的坐标；若不存在,请说明理由.
【分析】(1) 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；(2)由（1）可知,,即可得,由得,写出直线的方程与椭圆方程联立,求出点的坐标,由两点式求直线的方程即可；(3)由,得,设直线方程为,与椭圆方程联立得,由根与系数关系计算得,从而得到直线方程为,从而得到直线过定点.
【解析】（1）设,则,,
∴,化简,得,∴椭圆的方程为.
（2）,,∴,
又∵,∴,.
代入解,得（舍）∴,
,∴.即直线方程为.
29
（3）∵,∴.
设,,直线方程为.代直线方程入,得
.
∴,,∴=
,
∴,
∴直线方程为,
∴直线总经过定点.
【点评】定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y＝kx＋b,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关．
【小试牛刀】【晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由．
29
【解析】（1）据题意，得
解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由，得．
设，则．
设，则直线的斜率分别满足．
又因为直线的斜率互为相反数，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，所以．
若对任意恒成立，则，
当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数．
综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数．
(三) 是否存在直线
【例3】设F1,F2分别是椭圆的左右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值.
（2）是否存在经过点A（5,0）的直线l与椭圆交于不同的两点C,D,使得|F2C|＝|F2D|？若存在,求直线l的方程；若不存在,请说明理由.
【分析】（1）将数量积转化为坐标表示,利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程,根据|F2C|＝|F2
29
D|,可知F2在弦CD的中垂线上,利用中点和斜率关系,写出中垂线方程,代入F2点即可判断.
【解析】（1）易知a＝,b＝2,c＝1,∴F1（－1,0）,F2（1,0）
设P（x,y）,则
＝（－1－x,－y）·（1－x,－y）
＝x2＋y2－1
＝x2＋4－x2－1
＝x2＋3
∵x2∈[0,5],
当x＝0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3；
当x＝±,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4.
（2）假设存在满足条件的直线l,易知点A（5,0）在椭圆外部,当直线斜率不存在时,直线l与椭圆无交点.
所以满足条件的直线斜率存在,设为k
则直线方程为y＝k（x－5）
由方程组
得：（5k2＋4）x2－50k2x＋125k2－20＝0
依题意,△＝20（16－80k2）＞0
得：
当时,设交点为C（x1,y1）,D（x2,y2）,CD中点为R（x0,y0）
则x1＋x2＝,x0＝
∴y0＝k（x0－5）＝k（－5）＝
29
又|F2C|＝|F2D|,有F2R⊥l,即＝－1
即＝－1
即20k2＝20k2－4,
该等式不成立,所以满足条件的直线l不存在.
【点评】假设存在,将转化为弦的中点问题以及垂直问题是解题关键．
【小试牛刀】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．
【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0),且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2,所以b2＝12,
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点,
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0,
解得－4≤t≤4.
另一方面,由直线OA与l的距离d＝4,得＝4,
解得t＝±2.
由于±2∉[－4,4 ],
所以符合题意的直线l不存在．
(四) 是否存在圆
【例4】已知椭圆过点,其焦距为．
29
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为,则椭圆在其上一点处的切线方程为,试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1）,点为在第一象限中的任意一点,过作的切线,分别与轴和轴的正
半轴交于两点,求面积的最小值；
（ii）如图（2）,过椭圆上任意一点作的两条切线和,切点分别为
．当点在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线相切？若存在,求出圆的方程；
若不存在,请说明理由．
【分析】（1）设椭圆的方程,用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知；有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．在解决与抛物线性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【解析】（I）解：依题意得：椭圆的焦点为,由椭圆定义知：
,所以椭圆的方程为．
（II）（ⅰ）设,则椭圆在点B处的切线方程为
29
令,,令,所以
又点B在椭圆的第一象限上,所以
,当且仅当
所以当时,三角形OCD的面积的最小值为
（Ⅲ）设,则椭圆在点处的切线为：
又过点,所以,同理点也满足,
所以都在直线上,
即：直线MN的方程为
所以原点O到直线MN的距离,
所以直线MN始终与圆相切．
【点评】先猜想圆心为原点,表示出直线MN的方程,再证明圆心到直线的距离为定值．
【小试牛刀】如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,
29
,,的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.
【解析】（1）设,其中,
由得
从而故.
从而,由得,因此.
所以,故
因此,所求椭圆的标准方程为：
（2）如图,设圆心在轴上的圆与椭圆相交,是两个交点,
29
,,是圆的切线,且由圆和椭圆的对称性,易知
,
由（1）知,所以,再由得,由椭圆方程得,即,解得或.
当时,重合,此时题设要求的圆不存在.
当时,过分别与,垂直的直线的交点即为圆心,设
由得而故
圆的半径
综上,存在满足条件的圆,其方程为：
四、迁移运用
1．【】江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知椭圆：，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，，直线：.
（1）求椭圆方程；
（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
【解析】（1），得，所求椭圆方程：.
（2）当直线斜率存在时，设直线：，、，
直线：，
令，得，同理，
29
以为直径的圆：，
整理得： ①
，得，
， ②
将②代入①整理得：，令，得或.
当直线斜率不存在时，、、、，
以为直径的圆：也过点、两点，
综上：以为直径的圆能过两定点、.
2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试（3月)】已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线：与椭圆相交于两点，使得？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由！
【解析】（1）在中，令，得，解得.
由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，
得，
所以.①
因为直线：与椭圆相切，则.②
将②代入①，得.
故椭圆的标准方程为.
29
（2）设点，.
由（1）知，则直线的方程为.
联立得，
则恒成立.
所以，，
.
因为，
所以.即.
即 ，
得，得，
即，
解得；
∴直线存在，且的取值范围是.
3．【山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟（一模)】如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，，
29
则，，
由题意知，所以为中点，
由中点坐标公式得
，
即，
又点在圆：上，故满足
，
得.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
因为，故，即 ①，
联立，
消去得：，
设，，
，，
，
因为为平行四边形，故，
点在椭圆上，故，整理得，②，
将①代入②，得，该方程无解，
故这样的直线不存在.
29
4．【湘赣十四校2019届高三下学期第一次联考】椭圆：的左焦点为且离心率为，为椭圆上任意一点，的取值范围为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设圆是圆心在椭圆上且半径为的动圆，过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于，两点.是否存在使得直线与直线的斜率之积为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）椭圆的离心率
椭圆的方程可写为
设椭圆上任意一点的坐标为
则
，
，，
椭圆的方程为
（2）设圆的圆心为，则圆的方程为
设过原点的圆的切线方程为：，则有
整理有
由题意知该方程有两个不等实根，设为，
29
则
当时，
当圆的半径时，直线与直线的斜率之积为定值
5．【安徽省六安市第一中学2019届高三下学期高考模拟】已知圆A：x2+y2+2x-15=0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2=16，圆心A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|，
又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4＞|AB|=2，
所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
设其标准方程C：，则2a=4，2c=2，所以a2=4，b2=3，
所以曲线C：；
（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y=k（x-1）与椭圆方程，
消去y，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由韦达定理得①，②，
由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补，
即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即，即，即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0③，
把①、②代入③并化简得，即（t-4）k=0④，
所以当k变化时④成立，只要t=4即可，所以存在定点R（4，0）满足题设.
6．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊】已知椭圆（）的左焦点为，点
29
为椭圆上任意一点，且的最小值为，离心率为。
（I）求椭圆的方程；
（II）若动直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.
（i）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（ii）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（I）设椭圆的标准方程为：（）
离心率为，，，
点为椭圆上任意一点，且的最小值为，
，，
解得，，
椭圆的方程为.
（II）
（i）由题意，，
，，
直线为：，
代入，得，解得或，
代入，得，舍，或，.
，直线的方程为：.
（ii）存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.
证明：，在于轴的对称点在直线上，
29
设直线的方程为：，
代入，得，
由韦达定理得，，
由直线的斜率，得的方程为：
令，得：
，
，，
，
对于动直线，存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.
7．【陕西省榆林市2018-2019年度高三第二次模拟】设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.
【解析】（1）左顶点A的坐标为（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1≠y0，得（x0﹣2 x0，y1﹣2y0） （0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y0 （舍），，得（x0，2y0）（2
29
﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴•＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．
8．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】已知椭圆的两焦点为、，抛物线：（）的焦点为，为等腰直角三角形．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知过点的直线与抛物线交于两点，又过作抛物线的切线，使得，问这样的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）椭圆，，两焦点为,，
∵为等腰直角三角形，，，
（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，的斜率必存在，
设直线的方程为，
由得
，或
抛物线方程得为所以
切线的斜率分别为，
当时，，即
又，解得合题意，
所以存在直线的方程是，即
9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模)】已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上?
29
【解析】（1）设，则内，
由余弦定理得，
化简得，解得，
故，
∴，得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）已知，，设，，，
由，①
，②
两式相除得.
又，
故，
故，③
设的方程为，代入整理，
得，恒成立.
把代入③，
29
得，
得到，故点在定直线上.
10．【江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考】已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由解得 得椭圆的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．
当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程
，
点到直线的距离是
由得
29
因为点在曲线上，所以有整理得
由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为
由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．
11.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点,且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A,B两点,与直线x＝－4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足＝＋(其中O为坐标原点),试问在x轴上是否存在一点T,使得·为定值？若存在,求出点T的坐标及·的值；若不存在,请说明理由．
【解析】(1)抛物线y2＝8x的焦点为椭圆E的顶点,即a＝2.又＝,故c＝1,b＝.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵＝＋,
∴P(x1＋x2,y1＋y2),
联立
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由根与系数的关系,得
x1＋x2＝－,y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.
将P代入椭圆E的方程,
得＋＝1,整理,得4m2＝4k2＋3.
设T(t,0),Q(－4,m－4k),
∴＝(－4－t,m－4k),＝.
29
即·＝＋＝.
∵4k2＋3＝4m2,
∴·＝＝＋.
要使·为定值,
只需2＝＝为定值,则1＋t＝0,∴t＝－1,
∴在x轴上存在一点T(－1,0),使得·为定值.
12.已知椭圆C:的左焦点为F,为椭圆上一点,AF交y轴于点M,且M为AF的中点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线与椭圆C有且只有一个公共点A,平行于OA的直线交于P ,交椭圆C于不同的两点D,E,问是否存在常数,使得,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
【答案】（I）（II）
【解析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点是, 在中, …………2分
所以椭圆的方程为 …………4分
（Ⅱ）设直线DE的方程为,解方程组
消去得到 若
则,其中 …………6分
29
又直线的方程为,直线DE的方程为, …………8分
所以P点坐标,
所以存在常数使得 …………12分
13.已知椭圆的两个焦点分别为,,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,问是否为定值？并证明你的结论.
【答案】(1) ;(2) 为定值2.
【解析】（1）由已知得：,由已知易得,解得,则椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时,由,解得,设,.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,将代入整理化简,得
,
29
依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则,,
又,,
所以
综上得：为定值2.
14已知点,,直线与直线相交于点,直线与直线的斜率分别记为与,且．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点,的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）设,则,
所以所以
（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在,设直线的方程是,
29
联立,消去得,
因为,所以,
设,
........10分
当且仅当时取等号,
面积的最大值为．
15.如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.
（1）求椭圆的方程；
（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足？若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在点B的坐标．
【解析】（Ⅰ）由已知得,点在椭圆上,
所以,解得,
29
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线l平行于x轴时,则存在y轴上的点B,使,设；
当直线l垂直于x轴时,,
若使,则,
有,解得或．
所以,若存在与点A不同的定点B满足条件,则点B的坐标只可能是．
下面证明：对任意直线l,都有,即．
当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立；
当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为．
设M,N的坐标分别为,
由得,
其判别式,
所以,,
因此,．
易知点N关于y轴对称的点的坐标为
又,
,
所以,即三点共线,
所以．
故存在与点A不同的定点,使得．
29
微信/支付宝扫码支付