问题35 圆锥曲线中的最值、范围问题
一、考情分析
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用．
二、经验分享
1. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
三、知识拓展
1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；
2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为.
四、题型分析
(一) 利用圆锥曲线定义求最值
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
【例1】已知是椭圆内的两个点,是椭圆上的动点,求的最大值和最小值．
27
【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论三点是否共线,总有,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．
【解析】由已知得是椭圆的右焦点,设左焦点为根据椭圆定义得,因为,所以
,故的最小值和最大值分别为和.
【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．
【小试牛刀】【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )
A． B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】由题意可得2a＝4，即a＝2，
渐近线方程为y＝±x，即有，
即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，
焦点为F1（，0），F2，（，0），
由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，
由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，
|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，
连接CF2，交双曲线于M，圆于N，
可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，
则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．
故选：B．
27
(二) 单变量最值问题转化为函数最值
建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．
【例2】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程.
（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.
【分析】（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；
根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设,将直线方程代入椭圆方程得：,
根据得到；设,应用韦达定理.讨论当k=0,的情况,确定的不等式.
【解析】（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,
∴圆心到直线的距离*
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,
27
代入*式得 ∴
故所求椭圆方程为
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设
将直线方程代入椭圆方程得：
∴
∴
设,则………………8分
当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意.
当时
得
∴
将上式代入椭圆方程得：
整理得：
由知
所以
【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点在椭圆上和向量式得,进而求函数值域．
【小试牛刀】【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】已知椭圆的离心率是
27
，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线： 与圆相切：
（ⅰ）求圆的标准方程；
（ⅱ）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围．
【解析】
(1) 椭圆经过点， ，解得
，
，解得 ∴椭圆的标准方程为
(2) (i)圆的标准方程为,圆心为，
∵直线： 与圆相切，
∴圆的半径,
∴圆的标准方程为．
（ⅱ）由题可得直线的斜率存在, 设,
由消去整理得，
∵直线与椭圆交于不同的两点，
∴，
解得．
设,
27
则
∴ ，
又圆的圆心到直线的距离,
∴圆截直线所得弦长,
，
设
则,
,
∵，∴ ，
∵的取值范围为．
(三) 二元变量最值问题转化为二次函数最值
利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．
【例2】若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则的最大值为
【分析】设点,利用平面向量数量积坐标表示,将用变量表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理．
【解析】设,则=,又点P在椭圆上,故,所以
27
,又-2≤x≤2,所以当x=2时,取得最大值为6,即的最大值为6,故答案为：6．
【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．
【小试牛刀】【湖南省益阳市2019届高三上学期期末】已知定点及抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】
方法一：作准线于，则.设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5.即最大值为.故选.
方法二：作准线于，则，
设，，
，
则
，则取最大值，只需取最大值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即
27
最大值为5. 即最大值为.
故选.
(四) 双参数最值问题
该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．
【例3】在平面直角坐标系中,已知椭圆：的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且满足（O为坐标原点）,当时,求实数的取值范围.
【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到与的关系,又因为椭圆上的点到点的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为在椭圆上,所以,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出,所以,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设点坐标,由题意设出直线方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示得出,由于点在椭圆上,得到一个表达式,再由,得到一个表达式,2个表达式联立,得到的取值范围.
【解析】（Ⅰ）∵ ∴
则椭圆方程为即
设则
当时,有最大值为
27
解得∴,椭圆方程是
（Ⅱ）设方程为
由 整得.
由,得.
∴ 则,
由点P在椭圆上,得化简得①
又由即将,代入得
化简,得
则, ∴②
由①,得
联立②,解得∴或
【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点P在椭圆上,和已知向量等式得变量的等量关系,和变量的不等关系联立求参数的取值范围．
【小试牛刀】已知圆,若椭圆的右顶点为圆
27
的圆心,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线
段上,且,求圆的半径的取值范围.
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c,因为
所以椭圆的方程为.
（2）设,
联立方程得
所以
则
又点到直线的距离, 则
显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是y轴,与已知矛盾,所以要使,只要,所以
当时,.
27
当时,3,
又显然,所以.
综上,圆的半径的取值范围是.
圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
四、迁移运用
1．【湖南省浏阳一中、醴陵一中2019联考】在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．
A．4 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题意得．
设椭圆上一点，则，
∴，
又，
∴当时，取得最小值．
故选C．
2．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解析】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，
代入并整理得，
27
所以，，
同理可得，所以
故选C.
3.【河北省张家口市2019期末】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设，，且时，则直线MN斜率的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设直线l的方程为，则，设点、
将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去x得，，由韦达定理得．
．
所以，，所以，x轴为的角平分线，，所以，
将式代入韦达定理得，
，则，所以，，
，所以，．
设直线MN的斜率为k，则
即，所以，，解得或．
故选：A．
27
4．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】已知椭圆的离心率的取值范围为，直线交椭圆于点为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立方程得，
设，，则，
由，得，
∴，化简得，
∴，化简得，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
即椭圆的长轴长的取值范围为，故选C．
5．【江西省红色七校2019届高三第二次联考】定长为4的线段MN的两端点在抛物线上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线方程得，准线方程为，设，根据抛物线的定义可知，到
27
轴的距离 ，当且仅当三点共线时，能取得最小值，此时.故选D.
6．【四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断】已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
抛物线的焦点，准线：，
圆的圆心为，半径，
过点作垂直准线，垂足为，
由抛物线的定义可知，则，
当三点共线时取最小值，
．
即有取得最小值4，故选B．
7．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，
27
则点到焦点的距离为，则，
所以抛物线方程：，
设，圆，圆心为，半径为1，
则，
当时，取得最小值，最小值为，
故选D.
8．【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2abcos60°＝a2+b2﹣ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（ ） 2，
∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2
得到|AB|（a+b）＝|CD|．
∴1，即的最小值为1．
故选：B．
27
9．已知抛物线,点Q是圆上任意一点,记抛物线上任意一点到直线的距离为,则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点为,连接,则．将圆化为,圆心为,半径为,则,于是由（当且仅当三点共线时取得等号）．而为圆上的动点到定点的距离,显然当三点共线时取得最小值,且为,故应选．
10．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点．若以为直径的圆过点，则的值为________．
【答案】4
【解析】假设k存在，设AB方程为：y＝k（x﹣1），
与抛物线y2＝4x联立得k2（x2﹣2x+1）＝4x，
即k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0
设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），
∵以为直径的圆过点,
27
∴∠QBA＝90°，
∴（x1﹣2）（x1+2）+y12＝0，
∴x12+y12＝4，
∴x12+4x1﹣1＝0（x1＞0），
∴x12，
∵x1x2＝1，
∴x22，
∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，
故答案为：4
11．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为____________.
【答案】
【解析】由是抛物线上的两个动点，得
又，所以，
在中，由余弦定理得：，
又，即，
所以，因此的最大值为.
故答案为
12．【江西省九江市2019届高三第一次高考模拟】已知抛物线的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______．
【答案】18
【解析】抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|+4|FB|＝x1+2+4（+2）＝+4+10，
27
当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|＝2+4×2+10＝20，
当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），
代入y2＝8x得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴＝4，∴|FA|+4|FB|4+10≥210＝18，
当且仅当x1＝1时取等号．
|FA|+4|FB|的最小值是18．
故答案为：18．
13．【山东省淄博市2018-2019学年度3月高三模拟】已知抛物线：上一点，点是抛物线上的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是__________．
【答案】
【解析】设直线的方程为，，，
联立直线的方程与抛物线方程，则有，即，，
因为直线与抛物线方程有两个交点，
所以，，，
因为，
所以，
即，
，
解得或者，
化简可得或者
因为，所以，，
所以直线的方程为，即，故直线过定点，
当垂直于直线时，点到直线的距离取得最大值，
最大值为，故答案为。
14．【浙江省2019年高考模拟训练数学（二)】设是抛物线上相异的两点，则
27
的最小值是____．
【答案】-16
【解析】由题意直线的斜率存在，设，
由消去整理得，
且．
设，中点为，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
又．
∴，当时等号成立，
∴的最小值是．
故答案为．
15.【陕西省咸阳市2018届高三一模】已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，
求直线的斜率的取值范围.
【解析】
（1）设椭圆，依题意得，
解得 ，从而得椭圆.
27
（2）设直线，则
即，依题意有，
则 ，消去得，
令，
则，所以在上递增，
所以，
由，得，所以直线的斜率的取值范围是
16．【湖南省衡阳市2018届高三第二次联考二模】已知椭圆的离心率为，倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积于的面积分别为.
①求的最大值；
②当取得最大值时，求的值.
【解析】
(1)依题直线的斜率.设直线的方程为,
27
依题有：
(2)由直线与圆相切得： .
设.将直线代入椭圆的方程得：
,且.
设点到直线的距离为,故的面积为：
,
当.等号成立.故的最大值为1.
设，由直线与圆相切于点，可得，
.
.
17．【2018衡水高三信息卷 二】已知抛物线（），直线与抛物线交于 (点在点的左侧)两点，且.
27
（1）求抛物线在两点处的切线方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，且的中点在线段上， 的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值.
【解析】（1）由，令，得，所以，解得， ，由，得，故所以在点的切线方程为，即，同理可得在点的切线方程为.
（2）由题意得直线的斜率存在且不为0，
故设， ， ，由与联立，
得， ，
所以， ，
故.
又，所以，所以，
由，得且.
因为的中点为，所以的垂直平分线方程为，令，得，即，所以点到直线的距离，
所以
.
令，则，则，故.
设，则，结合，令，得；
令，得，所以当，即时，
27
.
18．【山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟】已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线： 与曲线有（）个公共点.
（1）若，求的最小值；
（2）若，自上而下记这4个交点分别为，求的取值范围.
【解析】
（1）联立与，得，
∵，∴与抛物线恒有两个交点.
联立与，得.
∵，∴.
∵，∴，∴的最小值为.
（2）设， ， ， ，
则两点在抛物线上， 两点在抛物线上，
∴， ， ， ，且， ，∴.
∴， ，
∴ .
∴，∴，∴.
19．【山东省桓台第二中学2018届高三4月月考】已知抛物线，点与抛物线的焦点关于原点对称，过点且斜率为的直线与抛物线交于不同两点，线段的中点为，直线与抛物线交于两点．
27
（Ⅰ）判断是否存在实数使得四边形为平行四边形．若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设直线的方程为，设．
联立方程组，得．
显然，且，即，得且．
得，
， ．
直线的方程为： ，
联立方程组，得，
得，
若四边形为平行四边形，
当且仅当 ，即，
得，与且矛盾．
故不存在实数使得四边形为平行四边形
27
（Ⅱ）
由且，得；
当， 取得最小值；
当时， 取；当时， 取；
所以
20.【四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊】已知椭圆:的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，设.若，求面积的取值范围.
【解析】（1）由题意得抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
∵，
27
∴点P到直线的距离为，从而点P的横坐标为，
又点P在第一象限内，
∴点P的坐标为．
∴，
∴，
∴．
∴，
∴椭圆的方程为．
（2）根据题意得直线的斜率不为0，设其方程为，
由 消去整理得，
显然．
设，则 ①
∵，即，
∴，
代入①消去得．
∵，
∴，
∴，解得．
由题意得．
令，则，
27
∴，
设，则在上单调递增，
∴，即，
∴．
即面积的取值范围为．
27
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