问题21 复杂数列的求和问题
一、考情分析
数列求和是历年高考命题的热点，可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查数列，公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题.
二、经验分享
1.分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
【小试牛刀】【福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查】已知数列满足，则该数列的前23 项的和为（ ）
A. 4194 B. 4195 C. 2046 D. 2047
【答案】A
(三) 裂项相消法
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：余下的项前后的位置前后是对称的．余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项方法：
【 例3】在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.
⑴求数列的通项公式及其前项和；
⑵若，求数列的前项和.
【分析】⑴由成等比数列
；⑵由⑴可得
9
.
【点评】(1)裂项相消法求和的原理及注意问题
①原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
②注意：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．
③一般地，若{an}为等差数列，则求数列的前n项和可尝试此方法，事实上，＝＝＝·.
则；
故选：C．
2．【江西省南昌市第二中学2019届高三第六次考试】已知数列满足：，则的前40项的和为（ ）
A．860 B．1240 C．1830 D．2420
【答案】B
3．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末】设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
9
【解析】
∵an+2﹣2an+1+an＝2，∴an+2﹣an+1﹣（an+1﹣an）＝2，
a2﹣a1＝4．
∴{an+1﹣an}是等差数列，首项为4，公差为2．
∴an+1﹣an＝4+2（n﹣1）＝2n+2．
∴n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1
＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2n（n+1）．
∴．
∴1．
∴2+2018＝2020．
故选：C．
4．【江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测】已知函数（其中）的图像经过点，令，则
A．2019 B． C．6057 D．
【答案】B
5．【广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知函数，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
9
【解析】，
由
，
可得：
9．【广西南宁市第二中学2018届高三1月月考】已知函数，且，记表示的前项和，则__________．
【答案】100
10.数列的通项为，前项和为，则= ．
【答案】200
【解析】由已知可得；；；
；；；；
分析可知偶数项均为1，所以前100项中偶数项的和为．
分析可知相邻两项奇数项的和为6，所以前100项中奇数项的和为．
．
11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 012 .
【答案】
【解析】a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.
∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 011＋a2 012
9
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 012)
＝＋＝3·21 006－3.
12．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则____________.
【答案】
【解析】结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为,对面积求和设得到
,
,
两式子相减,得到,解得
.
13．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．
【答案】
9
14．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考】已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为_____________．
【答案】
【解析】是奇函数，，，，
，，如此继续，得， .
15．【2018届广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知等差数列的前项和为，，．
（1）求的值；
（2）求数列的前项和．
9
（2） 由（1）可得，所以
所以，
所以
19．【福建省漳州市2018届高三上学期期末】设数列的前项和为，且 .
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若数列满足，求数列的前项和.
【解析】 (Ⅰ)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3an＋1－3an－1－1，
9
即2an＝3an－1，所以，
当n＝1时，a1＝3a1＋1，解得.
所以数列{an}是以为首项， 为公比的等比数列，
即.
20．已知等比数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）成等差数列，∴，
当时，，
当时，，
是等比数列，∴，则，得，
∴数列的通项公式为.
9
（2）由（1）得，
∴
.
9
微信/支付宝扫码支付