问题40与几何概型相结合的问题
一、考情分析
数学学科内知识交汇问题,试题比较新颖,具有一定的综合性,因此在近几年的高考中,是出题的热点,而几何概型与其他知识的交汇问题,以其新颖,综合性,而渐成为命题的一个重要的着眼点,体现高考中考查学生探究能力和创新能力的立意,及在知识交汇处命题的原则,所以这类题应引起学生的注意.
二、经验分享
1.求解与长度、角度有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
2.求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
3.求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．
4.解决几何概型问题，注意正确区分古典概型与几何概型.
例1：在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为________.
例2：在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为________.
例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为.例2的基本事件总数为无限个，属于几何概型，所求概率为.
5.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题可考虑利用几何概型解决.
三、知识拓展
准确分清几何概型中的测度.
例1：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM＜30°的概率.
例2：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内过点A作射线交线段BC于点M，求∠CAM＜30°的概率.
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例1中的测度定性为线段长度，当∠CAM0＝30°，CM0＝AC＝CB.满足条件的点M等可能的分布在线段CM0上，故所求概率等于＝.例2中的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB＝45°.所以所求概率等于＝＝.
2.科学设计变量，数形结合解决问题.
例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率.
例2：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.
例1中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为＝.例2容易犯解例1形成的定势思维的错误，得到错误答案＝.原因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取[0，60]内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x－y|≤5结合线性规划知识可解，所求概率为＝.通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后，利用数形结合思想解题.
四、题型分析
与函数,方程,不等式相结合的几何概型
【例1】已知都是区间内任取的一个数,那么函数在上是增函数的概率是 ．
【分析】函数在上是增函数,这是一个三次函数,故只需它的导函数在上,即,求出满足的关系式,再有线性规划可求出所求的概率.
【 解析】答案填,因为都是区间内任取的一个数,所以点构成边长为4的正方形.,要满足函数在上是增函数,需,即,又都是区间内任取的一个数,所以,画出边长为4的正方形及
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的可行域,由可行域知：函数是增函数的概率为.
【点评】本题将几何概型与方程及不等式交汇在一起,解题时应综合运用相应的知识进行转化,同时数形结合,有利于直观准确求解.
【小试牛刀】【河南名校联盟2019届2月联考】．在区间内，任取个数，则满足的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，满足，则，解得，
所以在区间内，任取1个数时，概率为，故选D。
二．与解析几何相结合的几何概型
【例2】已知直线与曲线恰有两个不同的交点,记k的所有可能取值构成集合A；,是椭圆上一动点,与点关于直线y＝x＋1对称,记的所有可能取值构成集合B,若随机的从集合A,B中分别抽出一个元素,则的概率是___________
【分析】直线与曲线恰有两个不同的交点,求出满足的条件,即得集合；再根据与点关于直线y＝x＋1对称,求出对称椭圆的方程,从而得的范围,即得集合；可由几何概型的求法,求出的概率.
【解析】答案填,由,当时,显然,两边平方得,,即,由题意,该方程有两个不相等的正实数根,即即结合解得,即,对于椭圆,由于原点关于的对称点为,所以,椭圆关于的对称椭圆为, 在改椭圆上,可知,于是,即.
【方法一】由,分别以为横坐标和纵坐标,可知点(
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)构成一个面积为2的矩形,其中满足的是图中阴影部分,面积为,所以,满足的概率是.
0
1
1
－1
【方法二】当时,此事件发生的概率为,此时必有,当时,此事件发生的概率为,此时与概率相等,各占,于是此时满足的概率为,以上两事件互斥,且[－1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足的概率为.
【点评】本题将直线与曲线的交点,轴对称图形,坐标的取值范围,几何概型交汇在一起,综合性强,解题时把各个知识点分解转化；注意：当基本事件受两个连续变量控制时,一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决．
【小试牛刀】【2019年四川省达州市一诊】b是区间上的随机数，直线与圆有公共点的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】b是区间上的随机数即，区间长度为，
由直线与圆有公共点可得，，
，区间长度为，
直线与圆有公共点的概率，
故选C．
三．与向量,三角相结合的几何概型
【例3】已知三点,且,则动点P到点C的距离小于的概率为（ ）
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A. B. C. D.
【分析】根据条件与,找出满足的条件,作出图像,数形结合,即可求出动点P到点C的距离小于的概率.
【解析】答案选A,动点满足的不等式组为画出可行域可知在以为中心且边长为的正方形及内部运动,而点到点的距离小于的区域是以为圆心且半径为的圆的内部,所以概率.故选A
【点评】本题是将向量,不等式,几何概型结合在一起,具有一定的综合性,求解几何概型的概率问题,一定要正确确定试验的全部结果构成的区域,从而正确选择合理的测度,进而利用概率公式求解．
【小试牛刀】已知函数,当时,的概率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】由及得,所以所求概率为,故选D.
解几何概型题注意：
1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．
2．转化思想的应用
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对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式．
(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表
示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
失误与防范：1． 准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2． 几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
四、迁移运用
1．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试（3月)】随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】图标第一部分的面积为8×3×1＝24，
图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，
图标第三部分的面积为π×22＝4π，
故此点取自图标第三部分的概率为，
故选B．
2．【福建省2019届适应性练习（三)
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】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.
现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，
则图（3）中阴影部分的面积为：9S，
又图（3）中大三角形的面积为16S，
由几何概型中的面积型可得：
此点取自阴影部分的概率为，故选A.
3．【福建省莆田市2019届高三下学期教学质量检测】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边。若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R，该正方形的边长为l，则对于正方形的对角线而言，可以分为三个部分，第一个部分为正方形的对角线上的顶点到圆心的距离，两圆的圆心距，对角线上顶点到圆心的距离，故
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，解得，故概率,故选A。
4．【东北三省三校2019届高三第一次模拟】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值；从区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中满足不等式的数对共有11个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
在平面坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，
则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域，
区域面积为，
由几何概型概率公式可得
解得，故选A.
5．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷(一)】若在区间上任取一实数，则“”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，因为，所以，
所以“”的概率是.故选D
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6．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在区间内满足关系的x的范围为，故概率为
，故选A。
7．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据圆的对称性只需看四分之一即可，
设扇形的半径为r，则扇形OBC的面积为，
连接BC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：，
∴此点取自阴影部分的概率是．
故选：A．
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8．【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研】古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段，过点作的垂线，并 用圆规在垂线上截取，连接；（2）以为圆心，为半径画弧，交 于点；（3）以为圆心，以为半径画弧，交于点．则点即为线段的黄金分割点．若在线段上随机取一点F，则使得的概率约为
（参考数据：）
A．0.236 B．0.382 C．0.472 D．0.618
【答案】A
【解析】由勾股定理可得，
由图可知，
则，
由长度比的几何概型，可得概率为的概率为，
故选A。
9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期一模】美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由勾股定理可得CE=ED=5
因为CE⊥ED，所以
等腰直角三角形CED的内切圆半径
所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为
直角梯形的面积为
所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为
所以选C
10．【安徽省定远重点中学2019届高三下学期第一次模拟】2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，食甚时刻为21时31分，22时08分生光，直至23时12分复圆全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结束，一市民准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，该市民在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，其时间区间长度为121分钟．该市民等待“红月亮”的时间不超过30分钟，
则应该在21：01至21：56分之间的任意时刻到达，区间长度为55．
如图：
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由测度比为长度比，可知他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是．
故选：A．
11．【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四)】已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）
附：若随机变量，则，.
A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205
【答案】D
【解析】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
，
故所求的概率为.故选D.
12．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p1=p2 B. p1=p3
C. p2=p3 D. p1=p2+p3
【答案】A
【解析】
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设，则有，
从而可以求得的面积为，
黑色部分的面积为 ，
其余部分的面积为，所以有，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
13．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】“”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次函数，就产生一个在区间内的随机数.我们产生个样本点，其中.在这个样本点中，满足 的样本点的个数为，当足够大时,可估算圆周率的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
发生的概率为，在这个样本点中，满足 的样本点的个数为，当足够大时,可估算圆周率的近似值为，，即.
故选A．
14．【江西省临川一中2018届高三模拟考试】已知三地在同一水平面内，地在正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过的范围内会对测绘仪等电子仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣ =1﹣．
故选：A．
15.已知,,则函数的图象恒在轴上方的概率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】因为函数的图象恒在轴上方,则．因为,,所以,所以,所以,所以．如图建立的直角坐标系,如图所示,图中阴影部分的面积即为满足条件的范围．因为,所以所求概率,故选C．
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考点：1、几何概型；2、定积分的几何意义；3、函数的图象．
16.已知等差数列的前项和为,且,在区间内任取一个实数作为数列
的公差,则的最小值仅为的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,解得,所以概率为.
17．记集合,集合表示的平面区域分别为,．若在区域内任取一点,则点落在区域中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示,集合A所表示的区域为图中的圆,集合B所表示的区域为下图中的阴影部分,所以落在区域中的概率为,故选B．
18.已知实数,执行右图所示的程序框图,则输出x的值不小于55的概率为
（A） （B） （C） （D）
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【答案】C
【解析】当时,, ,,因为实数,输出x的值不小于55的概率为
19.在上随机取一个数,能使函数在上有零点的概率为 ．
【答案】
【解析】若有零点,则,解得或,
由几何概型可得函数有零点的概率.
20.设（为自然对数的底数）,任取,则满足的概率是 （结果用表示）．
【答案】
【解析】样本空间为一个矩形,面积为,而满足的面积为,所以概率是
21.设不等式组表示的平面区域为M,不等式组表示的平面区域为N.在M内随机取一个点,这个点在N内的概率的最大值是_________.
【答案】
【解析】不等式组表示的平面区域M为半径是1的半圆,面积为；不等式组
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表示的平面区域N为长为,宽为的长方形,面积为：,面积最大是.所以在M内随机取一个点,这个点在N内的概率的最大值是.
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