问题02 含参数的常用逻辑问题
一、考情分析
集合是高考数学考查热点内容,难度中等或中等以下.判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定,充分条件与必要条件的判断,是考查的主要形式,常与其他知识交汇考查,其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围,是本节中的一个难点．
二、经验分享
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；
(2)注意下面两种叙述方式的区别：①p是q的充分不必要条件；②p的充分不必要条件是q.
(3)充分条件、必要条件的三种判定方法
①定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题．
②集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．
③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
(4)充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
②要注意区间端点值的检验．
(5)“p∨q”“p∧q”“ p”等形式命题真假的判断步骤
①确定命题的构成形式；
②判断其中命题p、q的真假；
③确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
(6)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x＝x0,使p(x0)成立．
(7)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．
②对原命题的结论进行否定．
(8)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决．
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三、知识拓展
1．从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若AB,则p是q的充分条件；
(2)若AB,则p是q的必要条件；
(3)若A＝B,则p是q的充要条件；
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；
2．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真；
(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假；
(3)p：与p的真假相反,即一真一假,真假相反．.
3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,“否命题”是对原命题既否定其条件,又否定其结论,而“命题的否定”是否定原命题,只否定命题的结论．
四、题型分析
(一)与充分条件、必要条件有关的参数问题
充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．
【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合,集合.已知命题,命题,且命题是命题的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【分析】先化简给定集合,再利用是的必要不充分条件 解题
【解析】由已知得,.
∵是的必要不充分条件,∴.则有.∴,故的取值范围为.
【点评】
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充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．
【小试牛刀】【2019届河北辛集8月月考】已知f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x||f（x+t）﹣1|＜2}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（ ）
A． t≤0 B． t≥0 C． t≤﹣3 D． t≥﹣3
【答案】C
(二)与逻辑联接词有关的参数问题
逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围．
【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数在区间上单调递增；命题函数的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“”为真命题,“”也为真命题,求实数的取值范围.
【分析】先确定 真值相同．再根据,同真时或同假确定实数的取值范围.
【解析】若为真命题, 在上恒成立, ,
∵,∴．若为真命题,则当时,,,∵,当且仅当时取等号,∴．
由已知可得若为真命题,则也为真命题；若为假命题,则也为假命题,当,同真时,,同假时无解,故．
【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围
【小试牛刀】【2019届一轮复习讲练测】已知，命题函数的值域为，命题
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函数在区间内单调递增．若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
(三)与全称命题、特称命题真假有关的参数问题
全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．
【例3】若命题“使得”为假命题,则实数的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【分析】命题“使得”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．
【解析】由命题“使得”为假命题,则命题“使得”为真命题．所以．故选（C）．
【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．
【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知,设,成立；,成立,如果“”为真,“”为假,求的取值范围.
（四）与全称量词、特称量词有关的参数问题
全称量词“”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．
【例3】已知命题：“”,命题：“”．
若命题“且”是真命题,则实数的取值范围为（ ）
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A．或 B．或
C． D．
【分析】若命题“且”是真命题,则命题都是真命题,首先将命题对应的参数范围求出来,求交集即可．
【点评】命题是恒成立问题,命题是有解问题．
【小试牛刀】【2018云南省红河州统一检测】若命题“，”为假命题，则的取值范（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，为假命题，等价于
，为真命题
不妨设：
由，知，从而
于是，即，故选
五、迁移运用
1．【山东省日照市2018届高三5月校际联考】已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是
A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D．
【答案】C
【解析】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，
若命题p为真命题，则：，解得：，
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若命题q为真命题，则：，即，
综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.
本题选择C选项.
2．【山东省乐陵2019届高三一轮检测】已知P：，q：，且q是p的充分条件，则a的取值范围为
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
3．【河北省武邑中学高三第四次模拟】设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
对应的集合为，对应的集合为，
故或，解得或，故选D．
4．【峨眉山市第七教育发展联盟2018届高考适应性考试】己知命题： “关于的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是( ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由命题有实数根，则 则 所以非时
是非为真命题的充分不必要条件，所以
，则m的取值范围为，所以选A
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5．【衡水金卷.2018年高三调研卷模拟二】已知，命题函数的值域为，命题函数在区间内单调递增.若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】记命题为“点满足（）”，记命题为“满足”，若是的充分不必要条件，则实数的最大值为_________．
【答案】
【解析】
依题意可知，以原点为圆心，为半径的圆完全在由不等式组
所围成的区域内，由于原点到直线的距离为，所以，实数的最大值为
7．【湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测】已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．
【答案】
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【解析】非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m
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