问题22 数列与不等式的相结合问题
一、考情分析
数列与不等式的交汇题,是高考数学的常见题型. 对数列不等式综合题的解答,往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能,同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧.
近年数列与不等式交汇题考查点：
1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.
2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇,还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等,深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想,试题新颖别致,难度相对较大.
3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查,主要考查转化及方程的思想.
数列求和是历年高考命题的热点,可以以客观题形式考查,也可以以解答题形式考查数列,公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题.
二、经验分享
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,
其基本结构形式有如下4种：
①形如（为常数）；②形如；③形如；④形如（为常数）.
依据---不等式的性质：
（1）不等式的传递性：若,则（此性质为放缩法的基础,即若要证明,但无法直接证明,则可寻找一个中间量,使得,从而将问题转化为只需证明即可）
（2）等量加不等量为不等量：若,则,此性质可推广到多项求和：
若,则:
（3）若需要用到乘法,则对应性质为：若,则,此性质也可推广到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数
常用的放缩手段：
增加（或减少）某些项；增大分子（或减小分母）；增大（或减小）被开方数；利用二项式定理；利用基本不等式；利用函数的单调性.
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常用的放缩技巧：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：
①等差数列求和公式：,（关于的一次函数或常值函数）
②等比数列求和公式：,（关于的指数类函数）
③错位相减：通项公式为“等差等比”的形式
④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
①在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.
④若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩.从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试.
（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
①裂项相消：在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
②等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,,常数可视为的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可.例如常数,即可猜想该等比数列的首项为,公比为,即通项公式为.
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注：此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响
（4）与数列中的项相关的不等式问题：
①此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
②在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式,即或（累乘时要求不等式两侧均为正数）,然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为,另一侧为求和的结果,进而完成证明
三、知识拓展
常见的放缩变形：
（1）,其中：可称为“进可攻,退可守”,可依照所证不等式不等号的方向进行选择.
注：对于,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特征的数列,例如：,这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的,如：
（2）,从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的方向,到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.
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（4）
可推广为：
同类放缩常见的有：
（1）或
（2）；
（3）或；
（4）
或（平方型、立方型、根式型都可放缩为裂项相消模型）
（5）或、（指数型可放缩为等比模型）
（6）；（7）；
（8）（奇偶型放缩为可求积）.
补充：
一般地,形如或(这里)的数列,在证明（
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为常数）时都可以提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.
四、题型分析
(一) 最值问题
求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有：（1）建立目标函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性,然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.
【例1】设等差数列的前项和为,若,, 则的最大值为______.
【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项与公差的不等式,然后利用此不等关系确定公差的范围,由此可确定的最大值.
（3）由题意可知，设在数列中的项为，则由题意可知，，
所以当时，，
设，易解得，
当时，，，
因为，且，
所以当时，.
【点评】解决数列恒成立问题一般会涉及到基本不等式及数列单调性.
【小试牛刀】【广东省华南师范大学附属中学2018届高三综合测试】等比数列的前项和（为常数）,若恒成立,则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
(三) 证明问题
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此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法,特别是差值比较法是最根本的方法；（2）分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析；（3）放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.
【例3】设数列满足, ,其中为实数.
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
(Ⅱ)设,证明：；
（Ⅲ）设,证明：.
20090318
【分析】第（Ⅰ）小题可考虑用数学归纳法证明； 第 (Ⅱ)小题可利用综合法结合不等关系的迭代； 第 （Ⅲ）小题利用不等式的传递性转化等比数列,然后利用前项和求和,再进行适当放缩.
（Ⅱ）当时,. 显然,
此时不存在正整数,使得成立.
当时,.
令,即,
解得或（舍去）,
此时存在正整数,使得成立,的最小值为41.
综上,当时,不存在满足题意的；
当时,存在满足题意的,其最小值为41.
【点评】本题的表示式有两种,需要对着两种情况讨论,再确定是否存在满足题意的
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. 解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件,综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．
3．【江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当n为偶数时，由恒成立，得恒成立，
由,所以，
当n为奇数时，由恒成立，得恒成立，
由，所以，即，
综上可得实数a的取值范围为.故选D.
4．【山东省泰安市2019届高三上学期期中】设等比数列的公比为q，其前n项积为，并且满足条件，，给出下列结论：，，的最大值为，其中正确结论的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
5．【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列中, ,若它的前项和
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有最大值,则当时, 的最大值为（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】A
【解析】数列为等差数列,若,则,可得
, ,
,
,
则当时, 的最大值为,故选
9．已知数列的通项公式,若对任意恒成立,则的取值范围是____________．
【答案】
10．【山西省太原市2018届高三3月模拟】数列中, ,若数列满足,则数列的最大项为第__________项．
【答案】6
【解析】因为,所以根据叠加法得,
所以当时, ,当时,,因此数列的最大项为第6项.
11．【甘肃省2018届高三第一次诊断性考试】已知数列满足, ,则
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的最小值为__________．
【答案】
12．【广西陆川县中学2018届高三开学考试】已知函数,点O为坐标原点, 点,向量i=(0,1),是向量与i的夹角,则使得恒成立的实数t的取值范围为_________.
【答案】
【解析】根据题意得,﹣θn是直线OAn的倾斜角,
∴
=tan（﹣θn）= =
∴=
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要使恒成立,
则实数t的取值范围是t≥．故答案为：t≥．
13．【天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试（四）】已知等差数列的通项公式为,前项和为,若不等式恒成立,则的最小值为__________．
【答案】
14．【江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中】己知实数x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_______．
【答案】4－2
【解析】由于数列是递增的等差数列，故，且，故， ，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以.
令，则，即，
因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.
16．【浙江省台州市2019届高三上学期期末】在数列中，，，且对任意的N*，都有.
（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.
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