问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题
一、考情分析
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用．
二、经验分享
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
三、知识拓展
1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点，
F是该椭圆焦点，则；
2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点
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；
3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
四、题型分析
(一) 定点问题
求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明．
【例1】已知直线的方程为,点是抛物线上到直线距离最小的点,点是抛物线上异于点的点,直线与直线交于点,过点与轴平行的直线与抛物线交于点.
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）证明直线恒过定点,并求这个定点的坐标.
【分析】（Ⅰ）到直线距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线的距离
得当且仅当时取最小值,（Ⅱ）解析几何中定点问题的解决方法,为以算代证,即先求出直线AB方程,根据恒等关系求定点.先设点 ,求出直线AP方程,与直线方程联立,解出点纵坐标为.即得点的坐标为
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,再根据两点式求出直线AB方程,最后根据方程对应恒成立得定点
【解析】（Ⅰ）设点的坐标为,则,
所以,点到直线的距离
.
当且仅当时等号成立,此时点坐标为.
（Ⅱ）设点的坐标为,显然.
当时,点坐标为,直线的方程为；
当时,直线的方程为,
化简得；
综上,直线的方程为.
与直线的方程联立,可得点的纵坐标为.
因为,轴,所以点的纵坐标为.
因此,点的坐标为.
当,即时,直线的斜率.
所以直线的方程为,
整理得.
当,时,上式对任意恒成立,
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此时,直线恒过定点,
当时,直线的方程为,仍过定点,
故符合题意的直线恒过定点.
考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系
【点评】 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．
【小试牛刀】【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
【解析】（1）对于，当时，，即，当，，即，
椭圆的方程为，
（2）证明：设直线，（），
设，两点的坐标分别为，，则，
联立直线与椭圆得，
得，
，解得
，，
，
直线 ，
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令，得 ，
直线过定点
(二) 定值问题
解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值．
【例2】如图,点,分别为椭圆的左右顶点,为椭圆上非顶点的三点,直线的斜率分别为,且,,.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.
【分析】（Ⅰ）设,则,而,所以 （Ⅱ）根据弦长公式求底边的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线的方程为,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得,根据斜率条件及韦达定理得
,高为 ,代入面积公式化简得
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【解析】（Ⅰ）
椭圆.
（Ⅱ）设直线的方程为,,,
,
,,
,
,
,
,
,.
的面积为定值1.
【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【小试牛刀】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】已知椭圆的中心在原点，焦点在
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轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.
【解析】（1）设椭圆的方程为，则由题意知
∴.即∴
∴椭圆的方程为
（2）设、、点的坐标分别为，，.
又易知点的坐标为
显然直线存在的斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是
将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得
，∴，
∵，
∴将各点坐标代入得，
∴
圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素,可以先通过特例、极限位置等探求定值、定点,然后利用推理证明的方法证明之．
四、迁移运用
1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】直线与抛物线：交于两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【解析】设，，则，又，，解得.
将直线：代入，得，
∴，∴.
即直线：，所以过定点
2.【湖南省浏阳一中、醴陵一中联考】双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设内切圆的半径为．
由得，
整理得．
因为P为双曲线右支上一点，
所以，，
所以．故选D．
3.【江西省南昌市2019月考】已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1.则（ ）
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A． B．-3 C． D．
【答案】A
【解析】因为椭圆：的右焦点为,且离心率为，且
所以可求得椭圆的标准方程为
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），
因为A、B在椭圆上，所以 ，两式相减得
，即
同理可得
所以
因为直线、、的斜率之和为1
所以
所以选A
4．【福建省2019届适应性练习（四)】设为坐标原点，动圆过定点, 且被轴截得的弦长是8.
（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）设是轨迹上的动点，直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.
【解析】 (Ⅰ)设动圆半径为
由动圆被轴截得的弦长是8得
消去得
故圆心的轨迹的方程
(Ⅱ) 设直线， ，
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联立方程得，消去得，．
则，．
设直线的倾斜角分别是
∵，同理，
∴．
，故直线过定点．
5.【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．
(I)求椭圆C的方程；
(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值．
【解析】(Ⅰ)∵椭圆C过点，∴ ①
∵离心率为 ∴ ②
又∵ ③
由①②③得，，.
∴椭圆C的方程为C：.
(Ⅱ)显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m.
由消y得
由得.
∴
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∴
∴切点A的坐标为
又点B的坐标为，右焦点F的坐标为，
∴，，
∴
∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值.
6．【江西省赣州市十四县（市）2018届高三下学期期中】已知椭圆系方程： (， )， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.
（1）求的方程；
（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值．
【解析】
（1）由题意得椭圆的方程为： ，即 ．
∵ ．
∴，
又为椭圆上一点，
∴．
，即，
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又，
,
∴椭圆的方程为 ．
（2）解：①当直线斜率存在时，设方程为,
由消去y整理得，
∵直线与椭圆相切，
∴，整理得．
设，则，且，
∴点到直线的距离，
同理由消去y整理得，
设，
则，
，
．
②当直线斜率不存在时，易知
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综上可得的面积为定值．
7．【四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考】已知椭圆： 的长轴长为， ， 是其长轴顶点， 是椭圆上异于， 的动点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若动点在直线上，直线， 分别交椭圆于， 两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【解析】
（1）由题意知则，
设， ， ，则 ，
由，则，则，则，由此可得椭圆的标准方程为.
（2）设，则直线的方程为；则直线的方程为联立得消去得： ，则，即代入直线的方程得，故.
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联立得消去得： ，则，即代入直线的方程得，故.
当，即，则与轴交点为，
当，即时，下证直线过点，
由 ，
故直线过定点.
8．【江西省新余市2018届高三二模】已知抛物线过点，直线过点与抛物线交于， 两点.点关于轴的对称点为，连接.
（1）求抛物线线的标准方程；
（2）问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【解析】
(1)将点代入抛物线的方程得，
.
所以，抛物线的标准方程为.
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(2)设直线的方程为，又设， ，则.由得.
则， ， .
所以.
于是直线的方程为．
所以.
当时， ，
所以直线过定点.
9．【湖北省荆州中学2018届高三4月月考】已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设，过点斜率为的直线交轨迹于两点， 的延长线交轨迹于两点.
①若的面积为3，求的值.
②记直线的斜率为，证明： 为定值，并求出这个定值.
【解析】
（1）设圆心，过点作轴，垂足为，则.
∴
∴，化简为：.
当时，也满足上式.
∴动圆圆心的轨迹的方程为.
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（2）设直线的方程为， ，
由，得，
， .
①，解得.
②设，则， .
∵共线
∴，即，解得： （舍）或.
∴，同理，
∴
∴（定值）
10.如图,已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点)．
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(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M,与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值．
【解析】(1)设F(c,0),因为b＝1,所以c＝,
直线OB方程为y＝－x,
直线BF的方程为y＝(x－c),解得B(,－)．
又直线OA的方程为y＝x,
则A(c,),kAB＝＝.
又因为AB⊥OB,所以·(－)＝－1,
解得a2＝3,
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝,则直线l的方程为
－y0y＝1(y0≠0),即y＝.
因为直线AF的方程为x＝2,
所以直线l与AF的交点为M(2,)；
直线l与直线x＝的交点为N(,)．
则＝＝
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＝·.
因为P(x0,y0)是C上一点,则－y＝1,
代入上式得＝·
＝·＝,
即所求定值为＝＝.
11.如图,设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为,点是轨迹为上不同于的两点,且满足,求证：的面积为定值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由已知设点的坐标为,由题意知
,
化简得的轨迹方程为．
（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点,且,
则直线斜率必存在且不为0,又由已知．
因为,所以．
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设直线的方程为,代入椭圆方程,得
．．．．①,．
设的坐标分别为,则．
又,
所以,得．
又,
所以,即的面积为定值．
12．如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.
（1）求椭圆的方程；
（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足？若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在点B的坐标．
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【解析】（Ⅰ）由已知得,点在椭圆上,
所以,解得,
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线l平行于x轴时,则存在y轴上的点B,使,设；
当直线l垂直于x轴时,,
若使,则,
有,解得或．
所以,若存在与点A不同的定点B满足条件,则点B的坐标只可能是．
下面证明：对任意直线l,都有,即．
当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立；
当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为．
设M,N的坐标分别为,
由得,
其判别式,
所以,,
因此,．
易知点N关于y轴对称的点的坐标为
又,
,
所以,即三点共线,
所以．
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故存在与点A不同的定点,使得．
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