问题06 如何利用导数处理参数范围问题
一、考情分析
导数是研究函数图象和性质的重要工具,有关导数问题是每年高考的必考试题之一,且相当一部分是高考数学试卷的压轴题.其中以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及应用的试题,已成为最近几年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.随着高考对导数考查的不断深入,运用导数确定含参数函数中的参数取值范围成为一类常见的探索性问题,由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论.对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而且在众多的教辅资料中也很少有系统介绍,本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法,期望对考生的备考有所帮助.
二、经验分享
(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．
(4)求函数f(x)极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．
(5)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．
(6)求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值．
利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略
三、知识拓展
(1)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)＝x3,f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到),f(x)在R上是增函数．
(2)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．
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(3) f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解．
(4)研究方程的根或曲线的交点个数问题,可构造函数,转化为研究函数的零点个数问题．可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从而画出函数的大致图象,然后根据图象判断函数的零点个数．
四、题型分析
(一) 与函数单调性有关的类型
用导数研究函数的单调性,这是导数最为基本的运用,相关结论是：若函数在区间上可导,则在区间上递增；递减.根据函数单调性求参数（函数中含参数或区间中含参数）的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）,一般步骤是：首先求出后,若能因式分解则先因式分解,讨论=0两根的大小判断函数的单调性,若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.
【例1】已知函数f(x)＝exlnx－aex(a∈R),若f(x)在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a的取值范围．
【分析】利用导数判断函数的单调性,先确定在此区间上是单调增还是单调减函数．若 f(x)为单调递减函数,则f′(x)≤0,若f(x)为单调递增函数,则f′(x)≥0,然后分离参数a,转化为函数求最值.
故g(x)在(0,1)上为单调递减函数,在[1,＋∞)上为单调递增函数,此时g(x)的最小值为g(x)＝1,但g(x
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)无最大值(且无趋近值)．
故f(x)不可能是单调递减函数．
若f(x)为单调递增函数,
则f′(x)≥0,在x>0时恒成立,即－a＋lnx≥0,在x>0时恒成立,
所以a≤＋lnx,在x>0时恒成立,由上述推理可知此时a≤1.
故实数a的取值范围是(－∞,1]．
【点评】已知函数单调性,求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．
【小试牛刀】【2018届广东深圳上学期期中】若函数在区间内单调递增,则a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
(二) 与不等式有关的类型
以导数作为工具,以含有参数的不等式作为载体在知识交汇处命题已成为如今各地联考和高考命题的热点之一,在利用不等式恒成立求参数取值范围时,常利用以下结论：
①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；
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②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.
【例2】已知函数
（Ⅰ）判断函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的,都有,求实数的最小值.
【分析】（Ⅰ）先求导可得,因为分母,可直接讨论分子的正负即可得导数的正负,根据导数大于0可得其单调增区间,导数小于0可得其单调减区间.（Ⅱ）可将转化为,设函数,即转化为对任意的, 恒成立,即函数的最大值小于0.先求函数的导数,讨论其正负得函数的单调区间,根据单调性求其最值,根据函数的最大值小于0即可求得的范围.
（Ⅱ）等价于,
设函数,对于函数,不妨令.
所以,
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当时,在时,,所以在为增函数,所以,不符合题意；
当,在时,,所以在为增函数,所以,不符合题意；
当时,在时,,所以在为减函数,所以,即在上成立,符合题意；
综上,实数的最小值为.
【点评】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立问题等数学知识,考查综合分析问题解决问题的能力和计算能力,考查函数思想和分类讨论思想.利用“要使成立,只需使函数的最小值恒成立即可；要使成立,只需使函数的最大值恒成立即可”.在此类问题中分类讨论往往是一个难点,这需要经过平时不断的训练和结累方可达到的.
【小试牛刀】【福建省莆田市第一中学2019届高三上学期第一次月考2】已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
(三) 与极值有关的类型
极值这个概念在高中数学中可以说是一个与导数紧密相连的概念,基本上只要提到极值或极值点就会想到导数,极值点个数的判定,一般是转化为使方程根的个数,一般情况下导函数若可以化成二次函数,我们可以利用判别式研究,若不是,我们可以借助图形研究.在完成此类题目时一定要注意极值与最值的区别,它们有本质的不同：极值是一个局部的概念,而最值是一个整体的概念.
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【例3】【2017湖北荆州高三上学期第一次质量检测】已知函数,为自然对数的底数.
（1）当时,试求的单调区间；
（2）若函数在上有三个不同的极值点,求实数的取值范围.
【分析】(1)借助题设条件运用导数求解；(2)依据题设进行转化,构造函数运用导数知识探求.
【解析】（1）函数的定义域为,.当时,对于
恒成立,所以,若,若 ,所以的单调增区间为 ,单调减区间为 .
【点评】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出
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,使得问题获解.
【小试牛刀】【2018届江西省南昌上学期第三次月考】若函数存在唯一的极值点,且此极值小于0,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
(四) 与方程有关的类型
在现在高中数学命题中常出现有关参数的方程问题、根的分布问题,有时甚至出现在一些高考试题的压轴题中.完成此类问题正确的转化是解题最为关键的地方,基础较差的学生可能出现复杂问题简单化的现象（当然是错误的理解而已）,这种题型往往能很好的考查学生运用所学知识解决新问题的能力,这也正是它的魅力所在.
【例4】【山东省安丘市2019届高三10月份质量检测】若存在正实数m，使得关于x的方程有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程的有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可.
【解析】由题意得，
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令，则，
当时，，当时，，
所以，所以，
而时，，则要满足，解得，故选B.
【点评】本题考查了常见函数的导数、导数的运算法则、导数函数单调性关系、导数的综合应用和利用导数证明不等式,考查了学生的转化能力和运算求解能力.在某一区间内有关方程根的分布情况,所涉及方程往往有两类：一类为一元二次方程,它可充分利用三个二次的关系进行处理问题；另一类为非一元二次方程,此时一般要构造新的方程或函数进行研究,运用导数作为工具,数形结合处理此类问题.
【小试牛刀】若存在正实数,使得关于的方程有两个不同的根,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
【答案】D
五、迁移运用
1．【2018届四川省成都市第七中学高三上学期半期考】已知,若关于的方程恰好有4个不相等的实数解,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】∵,∴,当时, , ,
当时,即在内为增函数,当时, ,即在内为减函数,当时, ,即在内为减函数作出,函数的图象如图所示：
2.【2018届广东省五校高三12月联考】已知函数,若有且只有两个整数, 使得,且,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
3.【2018届陕西省西安中学高三上学期期中】已知函数,若对于任意的,都有成立,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】利用排除法,当时, , ,函数在定义域上单调递增, ,满足题意,排除CD选项,当时, , ,函数在定义域上单调递减, ,满足题意,排除B选项,故选A.
4.【2018届陕西省西安高三上学期期中】若函数在单调递增,则
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的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的导数为由题意可得恒成立,即为即有 设,即有由题意可得 ,且,解得的范围是,故选D.
5. 【2018届天津市耀华中学2018届高三上学期第二次月考】若函数在区间上有最小值,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟】已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式即，
结合可得恒成立，即恒成立，
构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，
故恒成立，即恒成立，
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令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则的最小值为，
据此可得实数的取值范围为.
本题选择D选项.
7．【贵州省铜仁市第一中学2019届高三上学期第二次月考】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
直线恒过点，
设过的直线与曲线相切于点且切线方程为：
，代入，故，
解得或者，
当时，，所以当时，直线可与在轴下方的图像相交．
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因为有且只有一个整数解，故曲线上的点在直线下方，在直线上方或在直线上，故 即，故选B．
8.【2017江西抚州七校联考】已知函数的图像上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】时,；时,.设且,当或时,,故,当时,函数在点处的切线方程为,即当时,函数在点处的切线方程为,即,两切线重合的充要条件是,且,消去得：,令,则,构造函数,,,,所以在单调递减,在单调递增,又所以,所以在单调递减,所以,即,故选C.
9.【2017辽宁盘锦市高中2017届11月月考】设函数（）,若不等式有解,则实数的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
10.【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考,12】设函数,若不等式在上有解,则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵,∴,令,,故当时,,当时,,故在上是减函数,在上是增函数；故；则实数的最小值为故选C．
11.【四川自贡普高2017届一诊,12】设函数,其中,若有且只有一个整数使得,则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】设,,则,∴,,单调递减；,,单调递增,所以处取得最小值,所以
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,,直线恒过定点且斜率为,所以,∴而,∴的取值范围
12.已知,,若,使得成立,则实数a的取值范围是____________．
【答案】
13.若关于的不等式在（0,+）上恒成立,则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数在（0,+）大于零不恒成立,所以有…,…在（0,+）上恒成立．不等式恒成立可得,;不等式即在（0,+）恒成立,用导数法可求函数的最小值,所以．综合得,．另当,时,解得．因此实数的取值范围是．
14.【2017重庆八中二调】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若,对于任意,,都有恒成立,求的取值范围．
【答案】（1）若,则在上单调递增,在单调递减,若,则在上单调递增,若,则在上单调递增,在单调递减；（2）.
【解析】（1）
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、若,则在上单调递增,在单调递减；
、若,则在上单调递增；
、若,则在上单调递增,在单调递减；
15.【2017山西省运城高三上学期期中】已知函数,且．
（1）求的值；
（2）若对于任意,都有,求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）对求导,得,
所以,解得．
（2）由,得,
因为,所以对于任意,都有．
设,则,
令,解得,
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当变化时,与的变化情况如下表：
1
增
极大值
减
所以当时,,
因为对于任意,都有成立,所以,
所以的最小值为．
16. 【2016届辽宁省抚顺市一中高三上学期第一次模拟】已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当,则,所以在无最大值；当时,在取
得最大值,最大值为
因此等价于
令,则在单调递增,
于是,当时,；当时,
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因此,的取值范围是．
17.【2017福建厦门一中上学期期中】已知函数是自然对数的底数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）当时,若存在,使得,求实数的取值范围．（参考公式：）
【答案】（1）在上单调递增；（2）.
（2）,因为存在,使得,所以当时,．
,
①当时,由,可知,∴；
②当时,由,可知,∴；
③当时,,∴在上递减,在上递增,
∴当时,,
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而,
设,因为（当时取等号）,
∴在上单调递增,而,
∴当时,,∴当时,,
∴,
∴,∴,即,
设,则,
∴函数在上为增函数,∴,
既的取值范围是．
18.【2018届山东省淄博市部分学校高三12月摸底】已知函数.
(Ⅰ)判断函数在区间上的单调性；
(Ⅱ)若函数在区间上满足恒成立,求实数a的最小值.
【解析】（Ⅰ）当时,
令, ,显然当时,
,即函数在区间的单调递减,且,
从而函数在区间上恒小于零
所以在区间上恒小于零,函数在区间上单调递减.
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