问题08 形形色色的切线问题
一、考情分析
用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题..
二、经验分享
(1) 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k＝f′(x0)．
(2)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)＝k.
(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可．
(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．
【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．
（Ⅰ）若在处取极值,求在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时,若有唯一的零点,求证：
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
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令,则
由,可得
在上单调递减,在上单调递增.
又,故当时, ；
又,故在上有唯一零点,设为,
从而可知在上单调递减,在上单调递增,
因为有唯一零点,
故且
(三)两曲线的公切线
【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于( )
A.或 B. 或 C. 或 D. 或
【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出的值.
【答案】A
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【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系
（2）在利用切线与求的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线）
【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟10月联考】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．
【答案】0或1
(四) 曲线条数的确定
【例4】已知函数,若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围
【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以为切点的切线,所以考虑先设切点,切线斜率为,则满足,所以切线方程为,即
,代入化简可得：,所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即与有三个不同交点,数形结合即可解决
【解析】设切点坐标,切线斜率为,则有：
切线方程为：
因为切线过,所以将代入直线方程可得：
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所以问题等价于方程,令
即直线与有三个不同交点
令解得 所以在单调递减,在单调递增
所以若有三个交点,则
所以当时,过点存在3条直线与曲线相切.
【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,可把问题转化为关于t的方程的实根个数问题.
【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，
，即方程有两个解，则有或.
故答案为:A.
5．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数是偶函数,当时, ,则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
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【答案】B
6．【2018届河南省天一大联考】已知是定义在上的单调函数,满足,则在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得为一固定的数,设,则有.由可得,当时,有,解得.∴,∴.∴,又.∴曲线在处的切线方程为,即.选A.
7．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知为曲线（且）上的两点,分别过作曲线的切线交轴于两点,若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点为函数与
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图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设与在公共点处的切线相同, ,由题意,即,由得或（舍去）,即有,令,则,于是当,即时, ；当,即时, ,故在为增函数,在为减函数,于是在的最大值为,故的最大值为,故选D.
9．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )
A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条
【来源】数学（理）试题
【答案】A
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10．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,可得,由(1)得,解得或 (舍去),代入(2)得, ,构造,则在上单调递减,在上单调递增,即的最小值为,所以的最大值为,故选A.
11．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线,若曲线存在与直线 垂直的切线,则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵曲线 存在与直线 垂直的切线, 成立, 故选A
16.已知函数（）,.
（1）若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值；
（2）若,试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究值的个数；,若不存在,请说明理由.
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（2）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线,
∵,∴,∴, ,
由得,即,
∴,故.
∵函数的定义域为,
当时, ,∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；
当时, , ,
由函数图象的性质可得和的图象有且只有两个公共点（且均符合）,
∴方程有且只有两个根.
综上,当时,函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时,函数与
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的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.
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