问题05 函数中的识图与用图
一、考情分析
函数图象是高考热点,注意考查方式有二,一是根据图象确定函数解析式,二是借组图象研究函数图象交点个数或方程实根个数,此类问题一般常与函数性质交汇考查,综合性较强,能有效考查学生分析问题解决问题的能力,及数形结合思想,在高考中常以选择题形式出现,难度中等或中等以上.
二、经验分享
(1) 描点法作图的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线,画出函数的图象．
(2) 函数图象平移变换八字方针
① “左加右减”,要注意加减指的是自变量．
② “上加下减”,要注意加减指的是函数值．
(3)图象变换法作函数的图象
① 熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
②若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序．
(4) 函数图象的识辨可从以下方面入手：
①从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置；
②从函数的单调性,判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性,判断图象的对称性；
④从函数的周期性,判断图象的循环往复；
⑤从函数的特征点,排除不合要求的图象．
(4) ① 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
②利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
2.函数对称的重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a,b)中心对称．
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x),则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
四、题型分析
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(一) 知式选图
【例1】函数f(x)＝2x－tan x在(－,)上的图象大致为( )
【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值的符号排除不符合条件的选项.
【点评】函数图象问题主要包括3个方面的问题：作图、识图、用图,其中识图问题一直是高考中的热点,解决该类问题的关键是从图中读出有用的信息,根据这些信息排除不符合条件的选项.本题属于识图问题中的“知式选图”,常用方法是：
(1)从函数定义域、值域确定图象大致位置；
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；
(4)根据特殊点的位置或特殊函数值的正负,排除不符合条件的选项.
【小试牛刀】【2018届北京市东城区高三上学期期中】函数的图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时, ,排除；又
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,故该函数是奇函数,排除；又当时, ,排除,故选．
(二) 知图选式
【例2】【2018届辽宁省葫芦岛市六校协作体月考】已知函数的图象如图所示,则函数的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【评注】知图选式一般采用逐个排除的方法.
【小试牛刀】【2018届山东省、湖北省部分重点中学12月联考】若函数 （, , , ）的图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由渐近线是得, 的两根是1,5,由选项知, ,则
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开口向上,得,有由时, 可知, ,则,所以,故选D.
(三)借助图象确定函数零点个数或方程实根个数
【例3】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x,则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A．多于4 B．4
C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题意知,f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象,如图,
观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
【评注】(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．
【小试牛刀】【2018河北省阜城月考】方程的解的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】在同一坐标系中画出函数与的图象,如图所示：
易判断其交点个数为2个,则方程的解的个数也为2个,故选C.
(四) 由函数零点个数或方程实根个数确定参数范围
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【例4】已知函数f(x)＝其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根,则m的取值范围是________．
【答案】(3,＋∞)
【解析】如图,
【评析】已知函数零点情况求参数的步骤及方法
(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．
【小试牛刀】【2018北京西城区高三上学期12月月考】已知若函数只有一个零点,则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可得函数的图象和直线只有一个交点,直线经过定点,斜率为,当, ,当时, ,如图所示,故．故选．
五、迁移运用
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1．【辽宁省部分重点高中2019届高三9月联考】函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
2．【河北省武邑中学2019届高三上学期第三次调研】已知函数，则函数的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知函数的定义域为
∵函数
∴，即
∴函数为非奇非偶函数，排除和
当时，，排除
故选A
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3．【云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测】已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是
A． B．
C． D．
【答案】A
4．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试】已知函数，则的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】A
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5．【安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考】已知函数，则在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于函数为偶函数，故其图像关于轴对称，选项AB错误；
且：，
，
据此可知：，选项D错误；
本题选择C选项.
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6．【黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第二次月考】函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
7．【2018北京师范大学附属中期中】函数与的图象可能是
A. B. C. D.
【答案】D
8．【2018届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考】定义运算,则函数的图象是下图中
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得,则答案为D.
9．【2018河北省张家口市12月月考】函数（）的图象不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ 函数（）∴当时, ,故可能
当时, ,显然为增函数,且时, ,故可能
当时, ,令,则, 在上单调递减,在上单调递增,故时, 在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,在上单调递增,故可能,综上,函数（）的图象不可能为
故选D
10.【2018广东省化州市高三上学期第二次高考模拟】函数的部分图像大致为（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】B
11.【2018浙江省部分市学校高三联考数学】已知函数（）,下列选项中不可能是函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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12. 【2018届山西省太原高三上学期10月月考】已知函数,若函数有两个零点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作出函数图象,依题意,则与函数图象有两个交点,当与相切时,设切点为,则求得,当时, 与函数图象有两个交点,故选D.
13.【2018届山东省济南高三12月考】函数的图象大致为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】B
14.【2018届北京市西城区高三上学期12月月考】如图,点为坐标原点,点,若函数（,且）及（,且）的图象与线段分别交于点, ,且, 恰好是线段的两个三等分点,则, 满足（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象可以知道,函数均为减函数,所以, ,∵点为坐标原点,点,∴直线为,∵经过点,则它的反函数也经过点,又∵（,且）的图象经过点,根据对数函数的图象和性质可知： ,∴．故选．
15.【2018届广东省广州市华南师范大学附属中学高三综合测试】 设是定义在上的偶函数,对,都有,且当时, ,若在区间内关于的方程恰好有三个不同的实数根,则的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵对,都有,∴,即的周期为4,
∵当时, ,∴当时, ,则
∵是偶函数,∴当时, ,∵
∴,∴作出在区间内的图象如下：
16.【2018届山东省实验中学高三上学期第二次诊断】函数的图像为
A. B.
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C. D.
【答案】D
17．【2018届广东省佛山市段考】已知,则方程所有实数根的个数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在同一坐标系内作出函数的图象,如图所示,
根据函数图象可知,两函数的图象交点的个数为5个,所以方程 所有实数根的个数为5个.选D．
18．【2018届福建省莆田市第二十四中学2018届高三上学期第二次月考】设函数对任意的满足,当时,有.若函数在区间（）上有零点,则的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】∵函数y=f(x)对任意的x∈R满足f(4+x)=f(−x),∴函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
又∵当x∈(−∞,2]时,有.故函数y=f(x)的图象如下图所示：
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由图可知,函数f(x)在区间(−3,−2),(6,7)各有一个零点,故k=−3或k=6,故选：D.
19. 【2018届内蒙古杭锦后旗高三上学期第三次月考】函数的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
20. 【2018届北京东城高三上学期期中】已知函数,若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】图像如图所示, , 与图像有两个交点,符合题意．
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故选D .
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