问题45复数与其他知识的交汇问题
一、考情分析
复数在高考数学中所占的比重较小且难度不很大,一般以选择题或填空题的形式进行考查,但作为一个必考的知识点,它的考查方式却十分灵活,具有常考常新,活而不难的特点.由于复数具有代数和三角两种形式,它又与复平面的点之间建立起一一对应的关系,从而成为数形结合的重要桥梁,故而它常与其他知识点相结合,比如与简易逻辑、与方程、与函数、与三角、与平面向量、与解析几何等等.
二、经验分享
1. 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．
2.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．
3.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可．
三、知识拓展
复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即＝＋,＝－.
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四、题型分析
一、复数与集合、简易逻辑的结合
【例1】设x∈R,则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意中利用定义来判断,即先判断由是否可以推出复数,再判断由复数是否可以推出.
【解析】若x=1,则,反之若,则解得x=1,所以答案选C.
【点评】本题考查了复数的概念和充分条件必要条件的判定,判断充要条件可从两方面考虑:一是解这类问题必须明确哪个是条件,哪个是结论；二是判断由条件是事可以推出结论,由结论是否可以推出条件,应用充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件的定义加以说明.
【牛刀小试】若集合（是虚数单位）,,则（）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得,故．故选C．
二、复数与三角函数的结合
【例2】复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先化简所给复数,再利用复数的几何意义确定z在复平面内对应的点.
【答案】B
【解析】由题意可知,,,则,对应的点在第二象限. 故选B.
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【小试牛刀】若z＝sin θ－＋i是纯虚数,则tan的值为( )
A．－7 B．－ C．7 D．－7或－
【答案】
【解析】A 由于z＝sin θ－＋i是纯虚数,故sin θ＝,cos θ≠,
∴cos θ＝－.故tan θ＝－.∴tan＝＝－7,故选A.
三、复数与解析几何的结合
【例3】复数z满足方程＝4,那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程____________
【分析】根据题中所给条件,求复数,不难想到设出,代入条件：,可得：,运用复数模的计算公式化简为：,即可求出点的轨迹方程为.
【解析】设则由得,即,则,所以点的轨迹方程为
【点评】本题考查了轨迹方程、复数的几何意义和复数模长的计算,体现了数形结合数学思想的运用.处理这类问题常有两种方法：一,利用复数的代数形式进行求解,即“化虚为实”,思路自然清晰,但运算较烦,本题所用就是此法；二,利用几何意义求解,显得简捷明快,关于复数模的问题,一般可化为复平面内两点间的距离来解决,当然这还是要通过大量训练深入思考领悟.
【小试牛刀】若,且,则的最小值为 ．
【答案】．
【解析】：设,
则,所以
．这表示的是一个以圆心为,半径为1的圆．而,这表示圆上任意一点到点的距离．由于圆心为到点的距离为：,所以的最小值为
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,故应填．
四、复数与平面向量的结合
【例4】在复平面内,记复数对应的向量为,若向量绕坐标原点逆时针旋转 得到向量所对应的复数为 ．
【分析】根据题中所给复数对应的向量为,可得出与x轴的夹角：,再由旋转,根据旋转的特点：长度不变,即：点在轴上,到原点的距离为,进而求出相应的复数.
【解析】,,将向量绕坐标原点逆时针旋转,则点在轴上,到原点的距离为,所以对应点的复数为.
【点评】本题考查了复数、平面向量及复平面的知识.复数与平面向量有着一脉相承的“血缘”的关系,二者的“结合交汇”是近年来高考的一个热点,既是对《考纲》要求的呼应,也是复数考查方式创新的一种体现.
【小试牛刀】设（为虚数单位）,若复数在复平面内对应的向量为,则向量的摸是（ ）
A.1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】,则向量的摸是
五、迁移运用
1．【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
,因为在第一象限内,所以满足
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所以,故选D.
2．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期末】阅读下面的程序框图，输出结果的值为（其中为虚数单位，）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】阅读、并执行程序框图可知，
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，
根据虚数单位的乘方运算法则可得，
，故选D .
3．【上海市静安区2019届高三上学期期末】已知下列4个命题：
①若复数的模相等，则是共轭复数．
②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．
③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．
④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C. O为坐标原点．若（），则.
则其中正确命题的个数为（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
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【解析】1号可能复数相等，故错误。2号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数。4号,,计算得到b=0,故正确。3号，由题可知，
，建立等式,
建立等式，得到，解得，故错误。故选B。
4．【湖南省株洲市2019届高三教学质量统一检测】欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
因为，所以对应点，在第二象限，选B.
5．【福建省莆田市2018届高三第二次质量检测】设,则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】,其对应的点的坐标为,若该点在第二象限,可得,即,又是的真子集,故为必要非充分条件,故选B.
6.在复平面内,复数3－4i,i(2＋i)对应的点分别A,B,则线段AB的中点C对应的复数为( )
A．－2＋2i B．2－2iC．－1＋i D．1－i
【答案】 D
【解析】∵i(2＋i)＝－1＋2i,
∴复数3－4i,i(2＋i)对应的点A,B的坐标分别为A(3,－4),B(－1,2)．
∴线段AB的中点C的坐标为(1,－1)．
则线段AB的中点C对应的复数为1－i.故选D.
7.【广西柳州市2017届高三10月模拟】设是虚数单位,复数,则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】,所对应的点位于第四象限,选D.
8.设为虚数单位,则的展开式中含的项为（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二项式展开的通项,则其展开式中含是当,即,则展开式中含的项为,故选A.
9．【2016届山东省实验中学高三上学期第一次诊断】在复平面内,复数对应的点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,所以该复数对应的点为,该点到直线的距离为,故选A．
10．【2015陕西高考理11】设复数,若,则的概率为（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可知,
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.
所以表示所示的阴影部分,
所以.
故选D.
11.复数z1,z2满足z1＝m＋(4－m2)i,z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m,λ,θ∈R),并且z1＝z2,则λ的取值范围是( )
A．[－1,1] B. C. D.
【答案】C
【解析】由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ,由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ＝42－,因为sin θ∈[－1,1],所以4sin2θ－3sin θ∈.
12.设f(n)＝n＋n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．无数个
【答案】 C
【解析】 f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n,
f(1)＝0,f(2)＝－2,f(3)＝0,f(4)＝2,f(5)＝0,…
∴集合中共有3个元素．
13.复数Z与点Z对应,为两个给定的复数,,则决定的Z的轨迹是（ ）
A过的直线 B.线段的中垂线
C.双曲线的一支 D.以Z为端点的圆
【答案】B
【解析】
试题分析：由复数的几何意义可知点Z到点的距离为,点Z到点的距离为,因此点Z到点的距离等于点Z到点的距离,点Z在线段的中垂线上,答案选B.
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14.已知集合M＝{1,m,3＋(m2－5m－6)i},N＝{－1,3},若M∩N＝{3},则实数m的值为________．
【答案】 3或6
【解析】 ∵M∩N＝{3},∴3∈M且－1∉M,
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3,
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3,解得m＝6或m＝3.
15．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限,则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知得,解得.
16.已知z是复数,z＋2i、均为实数(i为虚数单位),且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限,实数a的取值范围是 ．．
【答案】(2,6)
【解析】设z＝x＋yi(x、y∈R),
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i,由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i,
由题意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i,
根据条件,可知
解得2
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