问题20 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题
一、考情分析
递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项.
二、经验分享
(1) 已知Sn，求an的步骤
当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
整理得：，
（叠乘法）因为，
所以， ，…， ，
相乘得，且当=1、2时，满足此式，
所以.
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(三) 用构造法求数列的通项
【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列满足： ，，（ ），则数列的通项公式为__________．
【分析】变形为,构造新数列求解.
【答案】
【解析】由得： ，变形得：，所以是以2为公比的等比数列，所以，所以.
【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出
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.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.
【小试牛刀】已知数列满足,, ,,则 ．
【答案】．
(四) 利用与的关系求数列的通项
【例4】已知数列的前项和为,．
（1）求的通项公式；
（2）设,数列的前项和为,证明：．
【分析】（1）已知和与项的关系,要求通项公式,可在已知（）基础上,用代（）,得,两式相减得（）的递推式,求得,注意的值与的表达式的关系；（2）由（1）是分段函数形式,时, ,考虑到证明和,因此可放缩以求和,从而得,可证得不等式．
又由,于是 故.
【小试牛刀】已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*)．
（I）证明：{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数a都成立,求a的
取值范围．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.
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（Ⅱ）因为,
所以,
依题意得：
五、迁移运用
1．【安徽省2019届高三上学期第二次联考】设是数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】
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1．【2017学年辽宁东北育才学校段考】设各项均为正数的数列 的前项和为 ,且满足．则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由满足．因式分解可得： ,∵数列 的各项均为正数,∴,当 时, ,解得 ．当 时, ,
当 时,上式成立．∴ ．故选A．
3．【福建省漳州市2019届高三第一次教学质量检查】已知数列和首项均为1，且，，数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．2019 B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得：，即数列是常数列，又数列首项为1，所以，所以可化为，因为数列的前项和，所以，
6．【湖北省鄂州市2019届高三上学期期中】已知数列的前项和为，首项，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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7.已知数列满足,则______.
【答案】
【解析】∵,,∴,∵,∴,∴,又∵,∴．∴数列是以﹣2为首项,﹣1为公差的等差数列,
∴,∴．则．故答案为：．
8．若数列满足,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】为等差数列, ,
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, ,.
9．【福建省莆田市2018届高三下学期教学质量检测】已知数列满足，，则__________．
【答案】
10．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研】已知数列的前项和为，且,（），若,
则数列的前项和_______________.
【答案】或
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11．【吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测】在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为，则 ________.
【解析】因为，且对任意，成等差数列，其公差为，所以当 时,可得，当时，,所以,故答案为.
由不等式恒成立,得恒成立,
设,由,
∴当时,,当时,,
而,,∴,
∴,∴．
15.已知数列的前项和,其中.
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（I）求的通项公式；
（II）若,求的前项和.
【答案】（I）（II）
（II）由（I）可得,
16.已知数列的各项都不为零,其前项为,且满足：．
（1）若,求数列的通项公式；
（2）是否存在满足题意的无穷数列,使得？若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）；（2）详见解析.
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17.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）由已知且，得，
∴是首项为4，公差为3的等差数列，
∴通项公式为；
（2）由（1）知，得：，，因此是首项为、公比为的等比数列，则．
18．【河南省南阳市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和为，且满足
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（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
（2）由（1）得，
当为偶数时，，；
当为奇数时，为偶数，．
所以数列的前项和．
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