问题15 平面向量中的最值、范围问题
一、考情分析
平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
二、经验分享
1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性.
三、知识拓展
1．.
2．
四、题型分析
(一) 平面向量数量积的范围问题
已知两个非零向量和,它们的夹角为,把数量叫做和的数量积(或内积),记作.即=,规定,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即=；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b
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＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．
【例1】在边长为2的等边三角形中,是的中点,为线段上一动点,则的取值范围为
【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量分别表示,结合已知条件设||（）,将用变量表示,进而转化为二次函数的值域问题．
表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离；
∵圆心到B的距离为,
∴的最大值为,故选：D．
【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．
【小试牛刀】【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末】已知向量，满足，，则的取值范围是
A． B． C．[ D．[
【答案】D
【解析】设点M为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为. ,即.故答案为D.
(三) 平面向量夹角的取值范围问题
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设,,且的夹角为,则．
【例3】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解．
【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．
【小试牛刀】已知非零向量满足 ,若函数在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,设和夹角为,因为有极值,所以,即,即,所以．
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3．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末】中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】如图，在中，，,为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
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则（当且仅当即时取“=”）.
故的最小值为.
5．【四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试】在四边形中,已知是边上的点,且, ,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
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6．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知, 是两个非零向量,且, ,则的最大值为
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
, , , ,令,则,令,得当时, ,当时, , 当时, 取得最大值,故选B.
7．【2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知是的重心,过点作直线与, 交于点,且, , ,则的最小值是( )
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
令
故
故
当且仅当等号成立,故选D
8.【2018上海市杨浦区高三数学一模】设、、、是半径为1的球面上的四个不同点,且满足,, ,用、、分别表示、、的面积,则的最大值是（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
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9．【2018届河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量满足, , ,则的最大值等于（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】由, , ,可得,如图所示,设则, A,O,B,C四点共圆, ,由三角形的正弦定理得外接圆的直径,当OC为直径时,它的模最大,最大为4,故选A.
12.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量夹角为, ,对任意,有,则的最小值是__________．
【答案】
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【解析】
,表示与的距离之和的倍,当共线时,取得最小值,即有,故答案为.
13．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形中, , ,若, 分别在边, 上运动（包括端点,且满足,则的取值范围是__________．
【答案】[1,9]
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14.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在中,点在线段的延长线上,且,点在线段上（与点不重合）,若,则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】 因为,
因为,点在线段上,
所以,
因为,所以.
15．【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是_______．
【答案】
又由，
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设，整理得，解得，
所以，所以的最小值为.
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