问题25 线性规划中的参数问题
一、考情分析
线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．
二、经验分享
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
3．目标函数中的系数均含参数
【例3】设,满足约束条件,若目标函数的最小值为2,则的最大值为 ．
【答案】．
【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可．
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【小试牛刀】设变量满足约束条件,且的最小值是,则实数 ．
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由图知,当经过点时取得最小值,即,解得．
4．目标函数为非线性函数且含有参数
【例4】设不等式组表示的平面区域为．若圆不经过区域上的点,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D．
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【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：,可看成可行域内的点与定点两点连线的距离的平方,即；也可看成是以为圆心,为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题．
【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
(三)目标函数及约束条件中均含参数
【例6】设在约束条件下,目标函数的最大值大于2,则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【小试牛刀】设,满足约束条件且的最小值为7,则
（A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3
【答案】B
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五、迁移运用
1．【陕西省西安市高新一中2019届高三一模】若满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线由图象可知当直线经过点时，
直线的截距最小，
此时最小值为，即，则，
当时，，即，
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同时也在直线上，
代入可得，解得，故选D．
6．【山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中】设，满足约束条件，若的最大值为，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，
7．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】B
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【解析】由目标函数的最大值为7，最小值为1，
联立方程和，解得A(3，1)，B(1，－1)，
由题意知A，B两点在直线上，所以解得a＝－1，b＝1.
故选B.
8.不等式组（）所表示平面区域的面积为,则的最小值等于（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
【答案】B
【解析】,所以,当且仅当时取等号,所以选B.
13.三个正数a,b,c满足, ,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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14.已知,满足不等式组当时,目标函数的最大值的变化范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D．
【解析】当时,对应的平面区域为阴影部分,由得,平移直线由图象可知当直线经过点C时,直线的截距最大,此时解得,即,代入得．当时,对应的平面区域为阴影部分ODE,由得,平移直线由图象可知当直线经过点E时,直线的截距最大,此时解得,即,代入得．∴目标函数的最大值的变化范围是,即,选D．
15.已知满足约束条件,若恒成立,则实数的取值范围为 .
【答案】
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16．【北京市朝阳区2018年高三一模】已知实数满足若取得最小值的最优解有无数多个,则的值为__________．
【答案】
【解析】
可化为,, 取得最小值,则直线的截距最小,最优解有无数个,即与边界重合,故,故答案为.
22．若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数的取值范围是_______．
【答案】．
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