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5.5 用二次函数解决问题
第 1 课时 、第 2 课时
1．某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商
品售价为 x 元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润 y(元)与每件商品售价 x(元)
之间的函数表达式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
2．某产品的进货单价为每件 90 元，按 100 元一件出售时，每周能售出 500 件．若每
件涨价 1 元，则每周销售量就减少 10 件，则该产品每周能获得的最大利润为( )
A．5000 元 B．8000 元
C．9000 元 D．10000 元
3．某商店出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出(6－ x)个，则当 x＝
________时，一天出售该种文具盒的总利润 y 最大．
4．一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为
10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件，
经市场调查发现，该产品每天的销售量 y(件)与销售价 x(元/件)之间的函数关系如图所示．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)求每天的销售利润 W(元)与销售价 x(元/件)之间的函数关系式，并求出当销售价为
多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少．
5．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为 100 m，
则池底的最大面积是( )
A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2
6．如图，用长为 10 米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过 10 米)，围成一个矩形花圃，
设矩形垂直于墙的一边长为 x 米，花圃面积为 S 平方米，则 S 关于 x 的函数表达式是
________，当边长 x 为________米时，花圃有最大面积，最大面积为________平方米．
7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中
的建筑材料可建围墙的总长为 50 m．设饲养室的一边长为 x(m)，占地面积为 y(m2)．
(1)如图 5－5－3①，则饲养室的一边长 x 为多少时，占地面积 y 最大？
(2)如图②，现要求在所示位置留 2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：
“只要饲养室的一边长 x 比(1)中的长多 2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是
否正确．2
图 5－5－3
8．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 h(米)与小球运动的时间 t(秒)之间的函
数表达式是 h＝9.8t－4.9t2，则小球的最大高度为________米．
9．飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数表达式是 y＝
60t－
3
2t2.在飞机着陆滑行中，最后 4 s 滑行的距离是______m.
10．小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50 盆，售后统计，盆景的
平均每盆利润是 160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元，经调研发现：
①盆景每增加 1 盆，盆景的平均每盆利润减少 2 元，每减少 1 盆，盆景的平均每盆利
润增加 2 元；②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共 100 盆，设培植的盆景比第一期增加 x 盆，第二期
盆景与花卉售完后的利润分别为 W1，W2(单位：元)．
(1)用含 x 的代数式表示 W1，W2；
(2)当 x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W 最大，最大总利润
是多少？
11．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从
文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑
共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫之间的距离为 x(单位：千米)，乘坐地铁的时
间 y1(单位：分)是关于 x 的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x(千米) 8 9 10 11.5 13
y1(分) 18 20 22 25 28
(1)求 y1 关于 x 的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间 y2(单位：分)也受 x 的影响，其关系可以用 y2＝
1
2x2－11x＋78
来描述，则李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短？并3
求出最短时间．
12．某旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内
最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x(元)是 5 的倍数．公司发现每天的营运规律如下：
当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5
元，租出去的观光车就会减少 1 辆．已知所有观光车每天的管理费是 1100 元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少
应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？4
参考答案
1．B [解析] 由题意，得 y＝(x－21)(350－10x)＝－10x2＋560x－7350.
2．C
3．3 [解析] 由题意可得 y＝(6－x)x，即 y＝－x2＋6x，当 x＝3 时，y 有最大值．
4．解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，
把(10，30)，(16，24)代入，得{10k＋b＝30，
16k＋b＝24，解得{k＝－1，
b＝40.
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－x＋40(10≤x≤16)．
(2)W＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400(10≤x≤16)．∵W＝－x2＋50x－400＝－
(x－25)2＋225，函数图像的对称轴是直线 x＝25，
在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大．
∵10≤x≤16，∴当 x＝16 时，W 最大，为 144.
即当销售价为 16 元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元．
5．B [解析] 设矩形的一边长为 x m，则其邻边长为(50－x)m，设池底面积为 S m2，
则 S＝x(50－x)＝－x2＋50x＝－(x－25)2＋625.∴当 x＝25 时，S 取得最大值，最大值为
625.
6．S＝－2x2＋10x
5
2
25
2 [解析] 由题意知平行于墙的一边长为(10－2 x)米，则 S
＝x(10－2x)＝－2(x－
5
2)2＋
25
2 (0
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