6.4 三角形相似的条件（4）
1．如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上的一点，连接 CD，要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的
条件是__________________________________________．
2．如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光
线互相垂直，则树的高度为_______m．
3．如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D．下列条件：①∠A＋∠B＝90°；②AB 2＝AC2＋
BC2；③ ；④CD2＝AD·BD，其中能证明△ABC 是直角三角形的有_______．
4．在△ABC 中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D 为 BC 的中点，动点 P 从 B 点出发，以每秒 1
cm 的速度沿 B→A→C 的方向运动．设运动时间为 t 秒，过 D、P 两点的直线将△ABC 的周
长分成两个部分，如果要使其中一部分是另一部分的 2 倍，那么 t 的值为_______．
5．如图，在四边形 ABCD 中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 F，
DE 与 AB 相交于点 E．试说明 AB·AF＝CB·CD．
6．如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 BC、AB 的中点，AD，CE 相交于 G．试说明
7．在△ABC 中，AB＝9，AC＝6，点 M 在 AB 上，且 AM＝3，点 N 在 AC 上，若连接 MN，使△AMN
与△ABC 相似，则 AN＝_______．
8．如图，在直角坐标系中有两点 A(4，0)、B(0，2)，如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合），
AC CD
AB BD
=
1
3
GE GD
CE AD
= =当点 C 的坐标为_______ 时，由 B、O、C 三点连接成的三角形与△AOB 相似．
9．如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是 ( )
A． B． C． D．
10．(2014 潍坊)如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2
米的 CD 和 EF，两标杆相隔 52 米，并且建筑物 AB、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内，
从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上；
从标杆 FE 后退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，
则建筑物的高是 米．
11 ． 如 图 ， 在 △ABC 中 ， AD⊥BC ， 垂 足 为 D ， EC⊥AB ， 垂 足 为 E ， 连 接 DE ． 试 说 明
△BDE∽△BAC．
12．如图，在△ABC 中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 D、E、F．
(1) CA·CE 与 CB·CF 相等吗？为什么？
(2)连接 EF，交 CD 于点 O，线段 OC、OF、OE、OD 成比例吗？
13．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点 P 在 BD 上由点 B 向点 D
方向移动，当点 P 移到离点 B 多远时，△APB 和△CPD 相似？
AD AE
AB AC
= CE FA
CF FB
= DE AD
BC BD
= EF CF
AB CB
=14．如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋
转 90°得到线段 MN，在 CD 边上取点 P 使 CP=BM，连接 NP，BP．
（1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形；
（2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若△MCQ∽△AMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？
请说明理由．参考答案
1．∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB 或 2．4 3．①②④ 4．7 或 17
5．略 6．略
7．2 或 4.5 8．（－4，0）或(1，0)或(－1，0) 9．C 10．54 11．略
12．(1)相等 (2)成比例
13．8.4 cm 或 12 cm 或 2 cm
14．（1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠B，
在△ABM 和△BCP 中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90°得到线段 MN，
∴AM⊥MN，且 AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形 BMNP 是平行四边形；
（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴ = ，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴ = ， ∴ = ，
∴BM=MC．
AD AC
AC AB
=
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