1
6.4 三角形相似的条件（5）
1．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交△ABC 的外接圆于点 E.则下列结论中不正确的是
( )
A．△BAE∽△DBE B．△BAE∽△DAC
C．△DBE∽△DAC D．△BAD∽△DAC
2．如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P.若 AP＝3，BP＝4，CP＝2，则 CD 的长为( )
A．6 B．12 C．8 D．不能确定
3．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD⊥CD 于点 D，且 AC 平分∠DAB.
求证：(1)直线 DC 是⊙O 的切线；
(2)AC2＝2AD·AO.
4．已知：如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，AE 是△ABC 外接圆的直径．
求证：AB·AC＝AD·AE.
5．三角形的重心是三角形的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
6．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，G 是重心．如果 AG＝6，那么线段 DG 的长
为( )
A．2 B．3 C．6 D．122
图 6－4－60
7．如图，△ABC 的中线 BE 与 CD 交于点 G，连接 DE，下列结论正确的是( )
A．点 G 是△ABC 的内心
B．BD＝2CE
C．S△BGC＝2S△DGE
D．S△BDG＝S△CEG
8．如图，若 AD，BE 是△ABC 的中线，AD，BE 相交于点 F，FD＝2，则线段 AD 的长为________．
9．如图，在△ABC 中，AE，BF 交于点 D，且 D 是△ABC 的重心，S△DEF＝2，求△AEC 的
面积．
10．如图，在△ABC 中，点 O 是重心，BC＝10，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，连接 BO 并
延长交 AC 于点 E，AD⊥BE.若 BE＝6，AO＝6，则 AC 的长为( )
A．8 B．4 10 C．12 D．14
11．如图，已知 DE∥BC，且 DE 经过△ABC 的重心 G.若 BC＝6 cm，则 DE 等于________
cm.
12．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接 AC，BD，以
BD 为直径的圆交 AC 于点 E，连接 DE.若 DE＝3，则 AD 的长为________．
3
13．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AD＝18，点 E 在 AC 上且 CE＝
1
2
AC，连接 BE，与 AD 交于点 F.若 BE＝15，则△DBF 的周长是________．
14．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°， F 为△ABC 的重心，AB＝6，则 EF＝
________．
15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连
接 BD，CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P.
(1)求证：PD 是⊙O 的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当 AB＝6，AC＝8 时，求线段 PB 的长．
16．如图，已知点 G 是△ABC 的重心，AG⊥GC.
(1)若 AC＝4 cm，求 BG 的长；
(2)若△ABC 的面积为 9 cm2，求△GBC 的面积．
17．如图，已知矩形 ABCD 中，DE∥AC，DE 与 BC 的延长线交于点 E，AE 交 CD 于点 F，BF
交 AC 于点 G.
(1)求证：点 G 是△ABE 的重心；
(2)已知
AD
AF＝
2
3，求证：∠BCG＝∠BGC.45
参考答案
1．D
2．C [解析] 连接 AC，BD，则△PAC∽△PDB，∴
AP
DP＝
CP
BP，
∴DP＝
AP·BP
CP .
∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴DP＝6，
∴CD＝CP＋DP＝2＋6＝8.故选 C.
3．证明：(1)连接 OC，
∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC.
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵点 C 在⊙O 上，∴直线 DC 是⊙O 的切线．
(2)连接 BC，∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.
又∵∠BAC＝∠DAC，∴△ACB∽△ADC，
∴
AC
AD＝
AB
AC，∴AC2＝AD·AB，
∴AC2＝2AD·AO.
4．证明：∵AD 是△ABC 的边 BC 上的高，AE 是△ABC 外接圆的直径，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°.
又∵∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，
∴AB∶AE＝AD∶AC，
∴AB·AC＝AD·AE.
5．A
6．B [解析] 根据重心的性质，三角形的重心到一顶点的距离等于其到对边中点距离
的 2 倍，可直接求得结果．
7．D [解析] 根据三角形重心的定义和性质对各选项分析判断，利用排除法求解．
8．6 [解析] ∵AD，BE 是△ABC 的中线，AD，BE 相交于点 F，FD＝2，∴点 F 是△ABC
的重心，∴AF＝2FD＝2×2＝4，∴AD＝AF＋FD＝4＋2＝6.
9．解：∵D 是△ABC 的重心，
∴AD＝2DE，F 为 AC 的中点，
∴S△ADF＝2S△DEF＝4，
∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12.
10．B [解析] ∵O 是△ABC 的重心，6
∴E 是 AC 的中点，OE＝
1
3BE＝
1
3×6＝2.
∵AD⊥BE，∴AE＝ 62＋22＝2 10，
∴AC＝2AE＝2×2 10＝4 10.
故选 B.
11．4 [解析] 连接AG 并延长交 BC 于点 N.∵G 是△ABC 的重心，DE∥BC，∴△ADG∽△
ABN，BN＝CN，DG＝EG，∴
AG
AN＝
DG
BN＝
2
3.∵BC＝6 cm，∴BN＝3 cm，∴DG＝2 cm，∴DE＝4 cm.
12．2 5 [解析] 连接 BE，因为∠DAE＝∠DBE，∠DAE＝∠ACB，所以∠DBE＝∠ACB.
因为 BD 是直径，所以∠BED＝90°.又因为∠ABC＝90°，所以∠BED＝∠ABC，所以△BED∽△
CBA，所以
DE
AB＝
EB
BC，得到 EB＝6.Rt△BED 中，根据勾股定理得 BD＝3 5.在 Rt△ADB 中，根
据勾股定理得 AD＝2 5.
13．24 [解析] 根据等腰三角形三线合一的性质得出 BD＝CD，又由 CE＝
1
2AC，可知 F
是△ABC 的重心，根据重心的性质，得 BF＝
2
3BE＝10，DF＝
1
3AD＝6.在 Rt△BDF 中利用勾股定
理求得 BD＝8，进而得出△DBF 的周长为 24.
14．1
15．解：(1)证明：如图，连接 OD.
∵BC 为⊙O 的直径，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°.
∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180°，
∴∠PDO＝90°，即 PD⊥OD.
又∵点 D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 的切线．
(2)证明：∵四边形 ABDC 内接于⊙O，
∴∠ABD＋∠DCA＝180°.
又∵∠PBD＋∠ABD＝180°，
∴∠PBD＝∠DCA.
∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA.
(3)在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 BC＝ AB2＋AC2＝ 62＋82＝10，7
∴OB＝OC＝OD＝5.
又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5 2.
∵△PBD∽△DCA，∴
PB
DC＝
DB
AC，
即
PB
5 2＝
5 2
8 ，
∴PB＝
（5 2）2
8 ＝
25
4 .
16．解：(1)如图，延长 BG 交 AC 于点 D.
∵G 是△ABC 的重心，
∴BD 为△ABC 的中线．
又∵AG⊥GC，
∴GD 为 Rt△AGC 斜边上的中线，
∴GD＝
1
2AC.
又∵G 是△ABC 的重心，
∴BG＝2GD＝AC＝4 cm.
(2)∵BD 为△ABC 的中线，
∴S△CBD＝
1
2S△ABC＝
9
2 cm2.
∵G 是△ABC 的重心，
∴BD＝3GD，∴S△GBC＝
2
3S△CBD＝3 cm2.
17．证明：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BE，BC＝AD.
又∵DE∥AC，
∴四边形 ACED 是平行四边形，
∴AF＝EF，AD＝CE.
∵BC＝AD，∴BC＝CE，
∴点 G 是△ABE 的重心．
(2)∵∠ABE＝90°，AF＝EF，
∴BF＝
1
2AE＝AF.
∵点 G 是△ABE 的重心，
∴BG＝
2
3BF＝
2
3AF.
∵
AD
AF＝
2
3，∴BC＝AD＝
2
3AF，
∴BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC.
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