1
5.3 用待定系数法确定二次函数表达
一、选择题
1．已知二次函数 y＝x2＋bx＋4 的图像经过点(2，0)，则该函数的表达式是( )
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝x2－2x＋4
C．y＝x2－4x＋4 D．y＝x2＋4x＋4
2．已知某二次函数的图像如图所示，则这个二次函数的表达式为 ( )
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝
2
9(x－1)2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
3．若二次函数 y＝ax2＋bx－1 的图像经过点(1，1)，则 a＋b＋1 的值是( )
A．－3 B．－1 C．2 D．3
4．某同学在用描点法画二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像时，列出了下面的表格：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －11 －2 1 －2 －5 …
由于粗心，他算错了其中的一个 y 值，则这个错误的数值是( )
A．－11 B．－2 C．1 D．－5
5．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，然后绕原点旋转 180°
得到抛物线 y＝x2＋5x＋6，则原抛物线相应的函数表达式是( )
A．y＝－(x－
5
2)2－
11
4
B．y＝－(x＋
5
2)2－
11
4
C．y＝－(x－
5
2)2－
1
4
D．y＝－(x＋
5
2)2＋
1
42
二、填空题
6．若一个二次函数的图像经过(－3，0)，(2，0)和(1，－4)三点，则这个二次函数的表达
式是________.链接听课例2归纳总结
7．若抛物线 y＝ax2＋bx 经过点 A(2，1)，B(1，0)，则抛物线的函数表达式为________．
8．2017·上海已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函
数的表达式可以是_________________．(只需写一个)
9．已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 的顶点坐标为(1，－3)，则这个抛物线对应的函数表达式为
______________．
10．设抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点 C 在直线 x＝2 上，
且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线对应的函数表达式为______________．
三、解答题
11．已知抛物线 y＝ax2＋bx－3 经过点(－1，0)，(3，0)，求 a，b 的值．
12．已知二次函数的图像经过原点，对称轴是直线 x＝－2，最高点的纵坐标为 4，求该二次
函数的表达式.链接听课例2归纳总结3
13.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像上部分点的坐标(x，y)满足下表：
x … －1 0 1 2 …
y … －4 －2 2 8 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．
14．已知二次函数 y＝－
1
2x2＋bx＋c 的图像经过 A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在图中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图像及对称轴.链接听课例1归纳总结4
15．如图，已知抛物线 y＝－x2＋mx＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐
标为(3，0)．
(1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标；
(2)已知 P 是抛物线的对称轴 l 上的一个动点，当 PA＋PC 的值最小时，求点 P 的坐标．56
参考答案
一、1．C
2．D[解析] 设顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k 是常数，a≠0)，其中(－h，k)为顶点坐
标．
由图像知，抛物线的顶点坐标是(1，－8)，且经过点(3，0)，故二次函数的表达式为 y＝2(x
－1)2－8.故选 D.
3．D [解析] ∵二次函数 y＝ax2＋bx－1 的图像经过点(1，1)，∴a＋b－1＝1，∴a＋b＝
2，
∴a＋b＋1＝3.故选 D.
4．D [解析] 由函数图像关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图
像上．把(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)分别代入函数表达式，得{a－b＋c＝－2，
c＝1，
a＋b＋c＝－2，
解得{a＝－3，
b＝0，
c＝1，
∴函数表达式为 y＝－3x2＋1.当 x＝2 时，y＝－11.故选 D.
5．A [解析] 抛物线 y＝x2＋5x＋6＝(x＋
5
2)2－
1
4，顶点坐标为(－
5
2，－
1
4)，将顶点绕原点
旋转 180°，为(
5
2，
1
4)，旋转前的抛物线开口向下，∴旋转前的抛物线相应的函数表达式为
y＝－(x－
5
2)2＋
1
4，∴向下平移 3 个单位长度后的表达式为 y＝－(x－
5
2)2＋
1
4－3＝－(x－
5
2)2
－
11
4 .故选 A.
二、6． y＝x2＋x－6 [解析] 因为二次函数的图像经过点(－3，0)，(2，0)，所以设二次
函数的表达式为 y＝a(x＋3)·(x－2)．将点(1，－4)代入，得－4＝(1＋3)×(1－2)a，解
得 a＝1，所以二次函数的表达式为 y＝(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6.
7． y＝
1
2x2－
1
2x [解析] 将 A(2，1)，B(1，0)代入 y＝ax2＋bx，得{4a＋2b＝1，
a＋b＝0， 解得{a＝
1
2，
b＝－
1
2，
∴抛物线的表达式为 y＝
1
2x2－
1
2x.
8．答案不唯一，如 y＝2x2－1 [解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，－1)，∴设该抛物线的
表达式为 y＝ax2－1.又∵二次函数的图像开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的表达式可
以是 y＝2x2－1.
9．y＝x2－2x－27
10． y＝
1
8x2－
1
4x＋2 或 y＝－
1
8x2＋
3
4x＋2 [解析] 因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 A(0，2)，
所以函数表达式为 y＝ax2＋bx＋2.因为点 C 在直线 x＝2 上且到抛物线的对称轴的距
离等于 1，所以抛物线的对称轴为直线 x＝1 或直线 x＝3，所以可以建立以下两个方程组：
(1){16a＋4b＋2＝3，
－
b
2a＝1， (2){16a＋4b＋2＝3，
－
b
2a＝3.
由方程组(1)，得 a＝
1
8，b＝－
1
4；由方程组(2)，得 a＝－
1
8，b＝
3
4.
三、11．解：把(－1，0)，(3，0)分别带入 y＝ax2＋bx－3，得{0＝a－b－3，
0＝9a＋3b－3，
解得{a＝1，
b＝－2.故 a 的值为 1，b 的值为－2.
12．解：∵二次函数图像的对称轴是直线 x＝－2，最高点的纵坐标为 4，
∴抛物线的顶点坐标为(－2，4)．
设二次函数的表达式为 y＝a(x＋2)2＋4.
∵二次函数的图像经过原点，
∴把(0，0)代入，有 0＝(0＋2)2a＋4，解得 a＝－1，
∴二次函数的表达式为 y＝－x2－4x.
[点评] 本题考查的是用待定系数法求二次函数的表达式，根据题意得出抛物线的顶点
坐标，合理设出与其对应的函数表达式是解答此题的关键．
13．解：(1)由题意，得{a－b＋c＝－4，
c＝－2，
a＋b＋c＝2，
解得{a＝1，
b＝3，
c＝－2，
即二次函数的表达式为 y＝x2＋3x－2.将 x＝2 代入得 y＝8.
所以这个二次函数的表达式是 y＝x2＋3x－2.
(2)y＝x2＋3x－2＝(x＋
3
2)2－
17
4 ，
所以二次函数图像的顶点坐标为(－
3
2，－
17
4 )，对称轴是直线 x＝－
3
2.
14．解：(1)∵二次函数 y＝－
1
2x2＋bx＋c 的图像经过 A(2，0)，B(0，－6)两点，
∴{－2＋2b＋c＝0，
c＝－6， 解得{b＝4，
c＝－6，8
∴这个二次函数的表达式为 y＝－
1
2x2＋4x－6.
(2)如图所示．
15．解：(1)把点 B 的坐标代入 y＝－x2＋mx＋3，得 0＝－32＋3m＋3，
解得 m＝2，
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．
(2)如图，连接 BC 交抛物线的对称轴 l 于点 P，连接 PA，则此时 PA＋PC 的值最小．
设直线 BC 的函数表达式为 y＝kx＋b.
由抛物线相应的函数表达式知点 C 的坐标为(0，3)．
∵点 C(0，3)，B(3，0)在直线 BC 上，
∴{0＝3k＋b，
3＝b， 解得{k＝－1，
b＝3，
∴直线 BC 的表达式为 y＝－x＋3.
当 x＝1 时，y＝－1＋3＝2，
∴当 PA＋PC 的值最小时，点 P 的坐标为(1，2)．
[素养提升]
解：(1)答案不唯一，如两上二次函数图像的顶点关于 y 轴对称，对称轴关于 y 轴对
称．
(2)y＝2(x－2)2＋1 y＝a(x－h)2＋k
(3)如图．9
由 BC＝6，顺次连接点 A，B，O，C 得到一个面积为 24 的菱形，得 OA＝8，
∴点 A 的坐标为(0，8)，点 B 的坐标为(－3，4)．
设以点 B 为顶点的抛物线的表达式为 y＝a(x＋3)2＋4.
将点 A 的坐标代入，得 9a＋4＝8，
解得 a＝
4
9，
∴y＝
4
9(x＋3)2＋4.
y＝
4
9(x＋3)2＋4“关于 y 轴对称二次函数”的表达式为 y＝
4
9(x－3)2＋4.
根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，此时 y＝－
4
9(x＋3)2－4，y＝－
4
9(x－3)2－
4.
综上所述，“关于 y 轴对称二次函数”的函数表达式为 y＝
4
9(x＋3)2＋4，y＝
4
9(x－3)2＋
4 或 y＝－
4
9(x＋3)2－4，y＝－
4
9(x－3)2－4.
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