1
7.1 正切
一、选择题
1. 已知Rt △ ABC中，∠A = 90∘，则b
c是∠B的( )
A. 正切 B. 余切 C. 正弦 D. 余弦
2. 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，如果把Rt △ ABC的各边的长都缩小为原来的1
4，则∠A
的正切值( )
A. 缩小为原来的1
4 B. 扩大为原来的 4 倍
C. 缩小为原来的1
2 D. 没有变化
3. 在网格中，小正方形的边长均为 1，点A，B，C都在格点上，
则∠ABC的正切值是( )
A. 1
2
B. 2
2
C. 3
2
D. 3
3
4. 修筑一坡度为 3：4 的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为α，那么∠α的正切值是( )
A. 3
5 B. 4
5 C. 3
4 D. 4
3
5. 图， △ AC内接半径为 5 的 ⊙ O，圆心 O 到弦的离等于 3 则∠
的正切值等于( )
A. 3
5
B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
6. 等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10，则底角 B 的正切值为( )
A. 12
5 B. 13
5 C. 5
12 D. 5
13
7. 如图，一个斜坡长 130m，坡顶离水平地面的距离为 50m，那么这个斜坡与水平地面
夹角的正切值等于( )2
A. 5
13 B. 12
13 C. 5
12 D. 13
12
8. 平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A(1，1)、点B(2， - 5)，P是 y 轴上一动点，
当 △ PAB的周长最小时，求∠APO的正切值( )
A. 2 B. 0.5 C. -5 D. 5
9. 将一副三角板如下图摆放在一起，连接 AD，则
∠ADB的正切值为( )
A. 3 -1
B. 3 +1
C. 3 + 1
2
D. 3 - 1
2
二、解答题
10. 根据图中所给条件求出∠A、∠B的正切值．
11. 如图，点C 在 ⊙ O的直径BA 的延长线上，AB = 2AC，CD切 ⊙ O于点D，连接
CD，OD．3
(1)求角 C 的正切值：
(2)若 ⊙ O的半径r = 2，求 BD 的长度．
12. 如图， △ ABC为等边三角形，点 P 是边 AC 的延长线上一点，连接 BP，作∠BPQ等
于60∘，直线 PQ 与直线 BC 交于点 N．
(1)求证：AP ⋅ PC = AB ⋅ CN；
(2)若BC = 2，CN = 3
2，求∠N的正切值．4
13. 已知直线y = - 1
2x + 3与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，设 O 为坐标原点．
(1)求∠ABO的正切值；
(2)如果点 A 向左平移 12 个单位到点 C，直线 l 过点 C 且与直线y = - 1
2x + 3平行，
求直线 l 的解析式．
14. 如图，某无人机于空中 A 处探测到目标B，D，从无人机 A 上看目标B，D的俯角分别
为30∘，60∘，此时无人机的飞行高度 AC 为 60m，随后无人机从 A 处继续飞行30 3m
到达A'处，
(1)求A，B之间的距离；
(2)求从无人机A'上看目标 D 的俯角的正切值．5
参考答案
一、1. A 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C
8. B 9. D
二、10. 解： ∵△ ABC是直角三角形，∠C = 90∘，AB = 3，BC = 2，
∴ AC = AB2 - BC2 = 32 - 22 = 5，
∴ tanA = BC
AC = 2
5 = 2 5
5 ；tanB = AC
BC = 5
2 ．
11. 解：(1) ∵ CD切 ⊙ O于点 D，
∴ CD ⊥ OD，
又 ∵ AB = 2AC，
∴ OD = AO = AC = 1
2CO
∴ ∠C = 30∘
∴ tan∠C = 3
3 ；
(2)连接 AD，
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB = 90∘，
∵ ∠DOA = 90∘ - 30∘ = 60∘，
又 ∵ OD = OA，
∴△ DAO是等边三角形．
∴ DA = r = 2，
∴ DB = 42 - 22 = 2 3．
12. (1)证明： ∵△ ABC为等边三角形，
∴ ∠ACB = ∠A = ∠ABC = 60∘，
∴ ∠PCN = ∠A = 60∘，
∵ ∠ACB = ∠CBP + ∠CPB = 60∘
，∠BPQ = ∠PBN + ∠N = 60∘，
∴ ∠CPB = ∠N，
∴△ PAB∽ △ NCP，
∴ PA
NC = AB
CP，
∴ AP ⋅ CP = AB ⋅ NC；6
(2)解：过点 P 作PD ⊥ CN于点 D，
∵△ ABC为等边三角形， ∴ AB = AC = BC = 2
由(1)知，AP ⋅ CP = AB ⋅ NC，
∴ (PC + 2) × PC = 2 × 3
2，
整理得 PC2 +2PC - 3 = 0，
∴ PC = 1或PC = -3(舍)，
在Rt △ PCD中，∠PDC = 90∘，∠PCD = 60∘
∴ ∠CPD = 30∘，
∴ CD = 1
2CP = 1
2，
由勾股定理得PD = PC2 - CD2 = 3
2 ，
∴ DN = CN - CD = 3
2 - 1
2 = 1，
在Rt △ NDP中，∠PDN = 90∘，tan∠N = PD
ND =
1
2 3
1
= 3
2 ．
13. 解：(1) ∵ 直线y = - 1
2x + 3与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，
∴ A(6，0)，B(0，3)，
∴ OA = 6，OB = 3，
∵ ∠AOB = 90∘，
∴ tan∠ABO = OA
OB = 6
3 = 2；
(2)将点 A 向左平移 12 个单位到点 C，
∴ C( - 6，0)，
∵ 直线 l 过点 C 且与直线y = - 1
2x + 3平行，
设直线 l 的解析式为y = - 1
2x + b，
把C( - 6，0)代入y = - 1
2x + b得0 = - 1
2 × ( - 6) + b，
∴ b = -3，
∴ 直线 l 的解析式为y = - 1
2x - 3．
14. 解：(1)由题意得：∠ABD = 30∘，∠ADC = 60∘，
在Rt △ ABC中，AC = 60m，
∴ AB = AC
sin30∘ =
60
1
2
= 120(m)； 7
(2)过A'作A'E ⊥ BC交 BC 的延长线于 E，连接A'D，
则A'E = AC = 60，CE = AA' = 30 3，
在Rt △ ABC中，AC = 60m，∠ADC = 60∘，
∴ DC = 3
3 AC = 20 3，
∴ DE = 50 3，
∴ tan∠AA'D = tan∠A'DC = A'E
DE = 60
50 3 = 2
5 3．
答：从无人机A'上看目标 D 的俯角的正切值是2
5 3．
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