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二次函数与一元二次方程
一、选择题
1．抛物线 y＝2x2－2 2x＋1 与坐标轴的交点个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若二次函数 y＝ax2＋1 的图像经过点(－2，0)，则关于 x 的方程 a(x－2)2＋1＝0 的实数
根为( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝
3
2，x2＝
5
2 D．x1＝－4，x2＝0
3．已知二次函数 y＝kx2－7x—7 的图像和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( )
A．k>－
7
4 B．k≥－
7
4且 k≠0
C．k≥－
7
4 D．k>－
7
4且 k≠0
4．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像的顶点为 D，其图像与 x 轴的交点 A，B 的
横坐标分别为－1 和 3，则下列结论正确的是( )
A．2a－b＝0
B．a＋b＋c＞0
C．3a－c＝0
D．b2－4ac>0
二、填空题
5．若函数 y＝x2＋2x－m 的图像与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为________．
6．已知二次函数 y＝－x2＋2x＋m 的部分图像如图所示，则关于 x 的一元二次方程－x2＋2x
＋m＝0 的解为____________.链接听课例1归纳总结2
7．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当 y＜5 时，x 的取值范围是________．
三、解答题
8．已知二次函数 y＝x2－6x＋8.
(1)求抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标．
(2)求抛物线的顶点坐标．
(3)画出此函数的图像，利用图像回答下列问题：
①方程 x2－6x＋8＝0 的解是什么？
②x 取什么值时，函数值大于 0?
③x 取什么值时，函数值小于 0?3
参考答案
一、1．C 2.A
3．B [解析] ∵二次函数 y＝kx2－7x—7 的图像和 x 轴有交点，∴(－7)2－4k·(－7)＝49
＋28k≥0，解得 k≥－
7
4.又∵该函数是二次函数，∴k≠0，∴k 的取值范围是 k≥－
7
4且
k≠0.
4．D [解析] ∵抛物线与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为－1，3，∴抛物线的对称轴为直
线 x＝1，则－
b
2a＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝0，∴选项 A 错误；当自变量取 1 时，对应的
点在 x 轴下方，∴x＝1 时，y＜0，即 a＋b＋c＜0，∴选项 B 错误；∵点 A 的坐标为(－1，
0)，∴a－b＋c＝0，而 b＝－2a，∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，∴选项 C 错误；∵抛物线
与 x 轴有两个交点，∴b2－4ac>0.∴选项 D 正确．
二、5．－1[解析] ∵函数 y＝x2＋2x－m 的图像与 x 轴有且只有一个交点，∴b2－4ac＝22－
4×1×(－m)＝0，即 4m＋4＝0，解得 m＝－1.∴m 的值为－1.
6． x1＝－1，x2＝3[解析] 依题意得二次函数 y＝－x2＋2x＋m 的图像的对称轴为直线 x＝
1，与 x 轴的一个交点坐标为(3，0)，∴抛物线与 x 轴的另一个交点的横坐标为 1－(3－1)＝
－1，∴另一个交点的坐标为(－1，0)，∴当 x＝－1 或 x＝3 时，函数值 y＝0，即－x2＋2x
＋m＝0，∴关于 x 的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0 的解为 x1＝－1，x2＝3.
7． 0＜x＜4[解析] 由表可知，二次函数图像的对称轴为直线 x＝2，所以当 x＝4 时，y＝
5.由(1，2)，(2，1)，(3，2)可知函数的表达式为 y＝(x－2)2＋1.因为 a＝1＞0，所以函数
图像开口向上．所以 y＜5 时，x 的取值范围为 0＜x＜4.
三、8．解：(1)由题意，得 x2－6x＋8＝0，则(x－2)(x－4)＝0，解得 x1＝2，x2＝4，所以
抛物线与 x 轴的交点坐标为(2，0)和(4，0)．当 x＝0 时，y＝8，所以抛物线与 y 轴的交点
坐标为(0，8)．
(2)因为－
b
2a＝－
－6
2 ＝3，
4ac－b2
4a ＝
32－36
4 ＝－1，
所以抛物线的顶点坐标为(3，－1)．
(3)函数的图像如图．4
①x2－6x＋8＝0 的解为 x1＝2，x2＝4.
②当 x＜2 或 x＞4 时，函数值大于 0.
③当 2＜x＜4 时，函数值小于 0.
[素养提升]
[解析] (1)根据所给方程的解是对应二次函数图像与反比例函数图像交点的横坐标进
行解答；
(2)找出抛物线在反比例函数图像上方的自变量的取值范围．
解：(1)根据图像，得抛物线与反比例函数图像的交点坐标是(－1，2)，(1，－2)和(2，－
1)，
∴方程 x2－2x－1＝
－2
x 的解是 x1＝－1，x2＝1，x3＝2.
(2)观察图像可知，当 x＜－1 或 0＜x＜1 或 x＞2 时，y1＞y2.
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