1
7.5 解直角三角形
一、选择题
1. 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，如果AC = 2，cosA = 2
3，那么 AB 的长是( )
A. 3 B. 4
3 C. 5 D. 13
2. 如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直(A、D、B 在同一条直线
上)，设∠CAB = α，那么拉线 BC 的长度为( )
A. h
sinα B. h
cosα C. h
tanα D. h
cotα
3. 在 △ ABC中，已知AC = 5，且
1
tanA
2
+
1
tanC
2
-
5
tanB
2
= 0，则BC + AB = ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 如图，AC 是旗杆 AB 的一根拉线，测得BC = 6米，∠ACB = 50∘，则拉线 AC 的长为( )
A. 6
sin50∘米
B. 6 ⋅ cos50∘米
C. 6
tan50∘米
D. 6
cos50∘米
5. 如图， △ ABC中，AB = AC，∠BAC = 120∘，AD ⊥ BC于D，DE ⊥ AB于 E，若
AB = 20cm，则 DE 的长为( )2
A. 10cm B. 5cm C. 10 3cm D. 5 3cm
6. 在山坡上植树，要求两棵树间的水平距离是 m，测得斜坡的倾斜角为α，则斜坡上
相邻两棵树的坡面距离是( )
A. m
sinα B.
m
cosα C. m ⋅ tanα D. m ⋅ cosα
7. 如图，王明同学画了两个不同形状的三角形，并将有关数据在图中进行了标注，两
个三角形的面积分别记为S△ABC和S△DEF，则( )
A. S△ABC > S△DEF B. S△ABC < S△DEF
C. S△ABC = S△DEF D. 无法确定面积关系
8. 如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD，测得电视塔顶
端 A 的仰角为30∘，再向电视塔方向前进 120 米达到 F 处，又测得电视塔顶端 A 的
仰角为60∘，则这个电视塔的高度AB(单位：米)为( )
A. 60 3 B. 61 C. 60 3 +1 D. 121
9. 如图，在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘，CD ⊥ AB于D，AC = 2 2，AB = 2 3，设
∠BCD = α，那么cosα的值是( )
A. 2
2
B. 2
C. 3
3
D. 6
33
10. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为θ.现
要在楼梯上铺一条地毯，已知CA = 4米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要( )
A. (4 + 4sinθ)米2 B. 4
cosθ米2
C. (4 + 4
tanθ)米2 D. (4 + 4tanθ)米2
二、解答题
11. 已知：如图，在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘，BC = 3，cot∠ABC = 2
2 ，点 D 是 AC
的中点．
(1)求线段 BD 的长；
(2)点 E 在边 AB 上，且CE = CB，求 △ ACE的面积．
12. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌 CD、
小明在山坡的坡脚 A 处测得宣传牌底部 D 的仰角为60∘，沿山坡向上走到 B 处测得
宣传牌顶部 C 的仰角为45∘.已知山坡 AB 的坡度i = 1： 3，AB = 10米，AE = 15
米，求这块宣传牌 CD 的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据： 2 ≈ 1.414， 34
≈ 1.732.)
13. 小明、小华利用五一假期结伴游览某旅游景点，她们想测量景点内一条小河的宽度，
如图，已知观测点 C 距离地面高度CH = 40m，她们测得正前方河两岸 A、B 两点处
的俯角分别为45∘和30∘，请计算出该处的河宽 AB 约为多少米？(结果精确到 1m，参
考数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732)
14. 如图，在一条河的北岸有两个目标 M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点 A、B.
已知AB//MN，在 A 点测得∠MAB = 60∘，在 B 点测得∠MBA = 45∘，AB = 600米.
(1)求点 M 到 AB 的距离；(结果保留根号)
(2)在 B 点又测得∠NBA = 53∘，求 MN 的长.(结果精确到 1 米)
(参考数据： 3 ≈ 1.732，sin53∘ ≈ 0.8，cos53∘ ≈ 0.6，tan53∘
≈ 1.33，cot53∘ ≈ 0.75)56
参考答案
1. A 2. B 3. B 4. D 5. D 6. B 7. C
8. C 9. D 10. D
11. 解：(1)Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘，BC = 3，cot∠ABC = 2
2 ，
∴ AC = 6，
∵ 点 D 是 AC 的中点，
∴ CD = 1
2AC = 1
2 6，
∴ Rt △ BCD中，BD = BC2 + CD2 = 3
2 2；
(2)如图，过 C 作CH ⊥ AB于 H，
∵ BC = 3，cot∠ABC = 2
2 ，
∴ CH = 2，BH = 2，
∵ CE = CB，
∴ EH = BH = 1，
∵ ∠ACB = 90∘，BC = 3，AC = 6，
∴ AB = 3，
∴ AE = 3 - 2 = 1，
∴△ ACE的面积 = 1
2 × AE × CH = 1
2 × 1 × 2 = 2
2 ．
12. 解：过 B 作BF ⊥ AE，交 EA 的延长线于 F，作BG ⊥ DE
于 G．
Rt △ ABF中，i = tan∠BAF = 1
3 = 3
3 ，
∴ ∠BAF = 30∘，
∴ BF = 1
2AB = 5，AF = 5 3．
∴ BG = AF + AE = 5 3 +15．
Rt △ BGC中，∠CBG = 45∘，
∴ CG = BG = 5 3 +15．
Rt △ ADE中，∠DAE = 60∘，AE = 15，
∴ DE = 3AE = 15 3．7
∴ CD = CG + GE - DE = 5 3 +15 + 5 - 15 3 = 20 - 10 3 ≈ 2.7m．
答：宣传牌 CD 高约2.7米．
13. 解：由题意得，∠CAH = 45∘，∠CBH = 30∘，
在Rt △ ACH中，AH = CH = 40cm，
在Rt △ CBH中，BH = CH
tan∠CBH = 40 3cm，
∴ AB = 40 3 -40 ≈ 29cm，
答：河宽 AB 约为 29 米．
14. 解：(1)过点 M 作MD ⊥ AB于点 D，
∵ MD ⊥ AB，
∴ ∠MDA = ∠MDB = 90∘，
∵ ∠MAB = 60∘，∠MBA = 45∘，
∴ 在Rt △ ADM中，MD
AD = tanA = 3；
在Rt △ BDM中，MD
BD = tan∠MBD = 1，
∴ BD = MD = 3AD，
∵ AB = 600m，
∴ AD + BD = 600m，
∴ AD + 3AD = 600m，
∴ AD = (300 3 -300)m，
∴ BD = MD = (900 - 300 3)m，
∴ 点 M 到 AB 的距离(900 - 300 3)m．
(2)过点 N 作NE ⊥ AB于点 E，
∵ MD ⊥ AB，NE ⊥ AB，
∴ MD//NE，
∵ AB//MN，
∴ 四边形 MDEN 为平行四边形，
∴ NE = MD = (900 - 300 3)m，MN = DE，
∵ ∠NBA = 53∘，
∴ 在Rt △ NEB中，BE
NE = cot53∘ ≈ 0.75，
∴ BE ≈ (675 - 225 3)m，
∴ MN = AB - AD - BE ≈ 225 - 75 3 ≈ 95m．
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