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7.6 锐角三角函数的简单应用
1、如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，AC= ，BC=1，那么 的值是________
2、一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60°的方向出港观光，航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故，立
即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 37°方向，马
上以 40 海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船 C 处所需的大约时间．（温馨提示：
sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
3、如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30°，然后沿 AD
方向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60°（A、B、D 三点在同一直线上）．请你根据
他们测量数据计算这棵树 CD 的高度（结果精确到 0.1m）．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
4、如图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东 42°方向上，它沿正东方向航行 80 海里后到达 B 处，
此时灯塔 C 在它的北偏西 55°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离（结果精确到 0.1）；
（2）求海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离（结果保留整数）．
2 2 sin ABD∠2
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，
tan48°≈1.111）
5．如图，小明在 M 处用高 1 米（DM=1 米）的测角仪测得旗杆 AB 的顶端 B 的仰角为 30°，再向旗杆方向前
进 10 米到 F 处，又测得旗杆顶端 B 的仰角为 60°，请求出旗杆 AB 的高度（取 ≈1.73，结果保留整数）
6．如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为 45°，测得大树 AB 的底部 B 的俯角
为 30°，已知平台 CD 的高度为 5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）
7．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑 2.7 米的 A 处自 B 点看雕塑头顶 D 的仰角为 45°，
看雕塑底部 C 的仰角为 30°，求塑像 CD 的高度．（最后结果精确到 0.1 米，参考数据： ）
8．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角
∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动 1m（即 BD=1m）到达 CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求
梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）3
参考答案
1.
2.解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D．
在 Rt△ACD 中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80 海里，
∴CD= AC=40 海里．
在 Rt△CBD 中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，
∴BC= ≈ =50（海里），
∴海警船到大事故船 C 处所需的时间大约为：50÷40= （小时）．
3. 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD 中，CD=BC•sin∠CBD=10× =5 ≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树 CD 的高度为 8.7 米．
4.解：（1）C 作 AB 的垂线，设垂足为 D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，
设 CD 的长为 x 海里，在 Rt△ACD 中，tan42°= ，则 AD=x•tan42°，
在 Rt△BCD 中，tan55°= ，则 BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，
∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，
答：海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离是 34.4 海里；
（2）在 Rt△BCD 中，cos55°= ，∴BC= ≈60 海里，
答：海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离是 60 海里．
5. 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10 米，
在 Rt△BCE 中，sin60°= ，即 = ，∴BE=5 ，AB=BE+AE=5 +1≈10 米．
答：旗杆 AB 的高度大约是 10 米．
6. 解：作 CE⊥AB 于点 E，在 Rt△BCE 中，BE=CD=5m，CE= =5 m，
2 2
34
在 Rt△ACE 中，AE=CE•tan45°=5 m，AB=BE+AE=（5+5 ）m．故答案为：（5+5 ）．
7. 解：在 Rt△DEB 中，DE=BE•tan45°=2.7 米，在 Rt△CEB 中，CE=BE•tan30°=0.9 米，
则 CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9 ≈1.2 米．故塑像 CD 的高度大约为 1.2 米．
8 解：设梯子的长为 xm．在 Rt△ABO 中，cos∠ABO= ，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°= x．
在 Rt△CDO 中，cos∠CDO= ，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣ x=1，解得 x=8．故梯子的长是 8 米．
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