小专题(二) 垂径定理的有关计算
由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来.
类型1 求半径长
1.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为(B)
A.26π B. 13π C.96π5 D.3910π5
2.(乐山中考)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径AC是(C)
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸
类型2 求弦长
3.如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C点,则BC=(A)
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A.63 B.62 C.33 D.32
4.如图,☉O的半径为5,AB为弦,C为AB的中点,若∠ABC=30°,求弦AB的长.
解:连接OA,OC,OC 交AB于点M.
根据垂径定理可知OC垂直平分AB,
因为∠ABC=30°,所以∠AOC=60°,
在Rt△AOM中,sin 60°=AMOA=AM5=32,故AM=532,即AB=53.
5.如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.
解:(1)尺规作图如图所示.
(2)连接OE交BC于点M,连接OC,CE.
因为∠BAE=∠CAE,所以BE=EC,
所以OE⊥BC,所以EM=3.
在Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,
所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.
在Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30.
所以弦CE的长为30.
5
类型3 求弦心距
6.如图,在半径为5 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC=(B)
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
7.(衢州中考)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是(D)
A.3 cm B.6 cm
C.2.5 cm D.5 cm
8.如图,D是☉O的弦BC的中点,A是BC上一点,OA与BC交于点E,已知OA=8,BC=12.
(1)求线段OD的长;
(2)当EO=2BE时,求△ODE的面积.
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解:(1)连接OB.∵OD过圆心,且D是弦BC的中点,
∴OD⊥BC,BD=12BC=6.
在Rt△BOD中,OD2+BD2=OB2,
∵OB=OA=8,BD=6,
∴OD=OB2-BD2=82-62=27.
(2)在Rt△EOD中,OD2+DE2=OE2,
设BE=x,则OE=2x,DE=6-x,
∴(27)2+(6-x)2=(2x)2,
解得x1=-16(不合题意,舍去),x2=4,∴DE=2.
∴S△ODE=12DE·OD=12×2×27=27.
类型4 平行弦之间的距离
9.已知AB,CD是☉O的两条平行弦,AB=8,CD=6,☉O的半径为5,则弦AB与CD的距离为 (D)
A.1 B.7
C.4或3 D.7或1
提示:分两条平行弦在圆心O的同侧和异侧两种情况进行讨论,可得所求距离为7或1.
类型5 弓形计算
10.如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为(C)
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A.10 cm B.16 cm
C.24 cm D.26 cm
类型6 实际应用
11.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100 cm,水面宽AB=120 cm,某天下雨后,水管水面上升了20 cm,则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m.
12.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,拱高CD=9米,求圆的半径.
解:∵CD⊥AB且过圆心O,
∴AD=12AB=12×12=6米,
连接OA,设半径为r米,∴OA=OC=r米,
∴OD=CD-OC=(9-r)米,
∴在Rt△AOD中,
OA2=OD2+AD2,
∴r2=(9-r)2+62,解得r=6.5.
∴☉O的半径为6.5米.
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