小专题(三) 与切线有关的证明和计算
1.在证明圆的切线问题时,常见的辅助线作法:(1)若所给直线与圆有一个公共点,则连接圆心与该公共点得半径,证半径与直线垂直,简记为“连半径,证垂直”;(2)若题目未明确指出直线与圆有公共点,则过圆心作已知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径,简记为“作垂直,证半径”.
2.遇到有切线的条件,常见辅助线作法:连接过切点的半径,运用切线的性质构造直角三角形,再应用三角形的知识求解,解题中常用圆周角定理、垂径定理、勾股定理等进行角度或线段转化,从而化未知为已知,求出未知的角和线段.
类型1 与切线有关的计算角度问题
1.(常州中考)如图,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为(A)
A.76° B.56° C.54° D.52°
2.(宜昌中考)如图,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为(D)
A.30° B.35° C.40° D.45°
3.直线AB与☉O相切于点B,C是☉O与OA的交点,D是☉O上的动点(点D不与点B,C重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是(A)
A.25°或155° B.50°或155°
6
C.25°或130° D.50°或130°
提示:当点D在优弧BC上时,∠BDC=12∠BOC=25°;当点D在劣弧BC上时,∠BDC=180°-25°=155°.
4.如图,已知PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠P=40°,则∠BAC的大小是(D)
A.70° B.40° C.50° D.20°
5.已知A,B,C是☉O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作☉O的切线,交AB的延长线于点D.
(1)如图1,求∠ADC的大小;
(2)如图2,过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与AB交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.
解:(1)∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°.
∵四边形OABC是平行四边形,∴OC∥AD,
∴∠ADC=180°-∠OCD=180°-90°=90°.
(2)连接OB,由圆的性质知OA=OB=OC.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OC=AB,∴OA=OB=AB,∴△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°.
∵OF∥CD,∴OF⊥AD,
由垂径定理,得AF=BF,
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∴∠FAB=12∠BOF=14∠AOB=15°.
类型2 与切线有关的计算长度问题
6.如图,BC为半圆O的直径,D为半圆上一点,过点D作半圆O的切线AD,作BA⊥DA于点A,BA交半圆于点E,已知BC=10,AD=4,若直线CE与以O为圆心,r为半径的圆相切,则r等于(C)
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
7.
如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切☉O于点Q,则PQ的最小值为(B)
A.3 B.5 C.3 D.2
8.如图,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为(D)
A.10 B.8 C.43 D.45
9.
6
如图,AB=AC=8,∠BAC=90°,直线l与以AB为直径的☉O相切于点B,D是直线l上任意一动点,连接DA交☉O于点E.
(1)当点D在AB上方且BD=6时,求AE的长;
(2)当CE恰好与☉O相切时,求BD的长.
解:(1)连接BE.∵AB为直径,∴∠AEB=90°,
∵BD为切线,∴AB⊥BD,∴∠ABD=90°,
在Rt△ABD中,AD=AB2+BD2=82+62=10,
∵12BE·AD=12AB·BD,∴BE=AB·BDAD=8×610=245,在Rt△ABE中,AE=AB2-BE2=82-2452=325.
(2)如图,连接OC,OE.
∵∠BAC=90°,∴CA为☉O的切线,
∵CE为☉O的切线,∴CA=CE,
∵OA=OE,∴OC垂直平分AE,
∴∠1+∠3=90°,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3,
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∵AB=CA,∠CAO=∠ABD,
∴△ABD≌△CAO,
∴BD=AO=4.
类型3 与切线有关的证明问题
10.如图,C为以AB为直径的☉O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.
求证:AC平分∠BAD.
证明:连接OC.∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO,
∵CD切☉O于点C,∴CO⊥CD.又∵AD⊥CD,
∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO,∴AC平分∠BAD.
11.如图,AD是△ABC的高,且AD=12BC,E,F分别为AB,AC的中点,以EF为直径作圆O,试判断圆O与BC的位置关系,并说明理由.
解:圆O与BC相切.理由:过点O作OP⊥BC,垂足为P.∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF=12BC,EF∥BC.
∵AD=12BC,∴EF=AD.∵OPAD=BEAB=12,
∴OP=12AD=12EF.∵EF为圆O的直径,
∴OP为圆O的半径,∴圆O与BC相切.
6
12.
如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6,CO=8.
(1)判断△OBC的形状,并证明你的结论;
(2)求BC的长;
(3)求☉O的半径OF的长.
解:(1)△OBC是直角三角形.
证明:∵AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,∴∠OBE=∠OBF=12∠EBF,∠OCG=∠OCF=12∠GCF,∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°,∴∠OBF+∠OCF=90°,
∴∠BOC=90°,∴△OBC是直角三角形.
(2)∵在Rt△BOC中,BO=6,CO=8,
∴BC=BO2+CO2=10.
(3)∵BC与☉O相切于点F,∴OF⊥BC,
∵S△OBC=12BO·CO=12BC·OF,
∴OF=BO·COBC=6×810=4.8.
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