章末小结与提升类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
旋转的性质及应用
1.如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正
确的是( C )
A.线段AB与线段CD互相垂直
B.线段AC与线段CE互相垂直
C.点A与点E是两个三角形的对应点
D.线段BC与线段DE互相垂直类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
2.如图所示,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M为DE的中
点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
( 1 )当A,B,C三点在同一直线上时( 如图1 ),求证:M为AN的中点;
( 2 )将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时( 如图2 ),求证:△CAN为
等腰直角三角形;
( 3 )将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,那么( 2 )中的结论是否仍然成立?若成
立,请证明;若不成立,请说明理由.类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
解:( 1 )∵M为DE的中点,∴DM=EM.
∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,
又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,
∴AM=MN,即M为AN的中点.
( 2 )由( 1 )中△DMA≌△EMN可知DA=EN,
又∵DA=AB,∴AB=NE.
∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC,
∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,
∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,
∴∠BCN+∠ACB=90°,
∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形.类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
( 3 )成立.
证明:由( 2 )可知AB=NE,BC=CE,
∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE.
∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,
又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM
=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+( 180°-∠DBE )=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC.
∴△ABC≌△NEC,再同( 2 )可证△CAN为等腰直角三角形,
∴( 2 )中的结论仍然成立.类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
垂径定理及推论
1.如图所示,在☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若
AB=8,CD=2,则EC的长度为( D )类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
2.人工浮床又称人工浮岛,自20年前人类开发出第一个人工浮床之后,就将人工浮床应
用于地表水体的污染治理和生态修复.近年来,我国的人工浮床技术开发及应用正好处
于快速发展时期.如图所示,是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工
浮床示意图,其中圆和三块边长为16米的正方形是浮岛框架部分,被分割成的7部分将
运用无土技术分别栽培7种不同的水生植物,正方形的顶点A,B,C,D都在圆上,且整个浮
床成轴对称图形,求这个圆形人工浮床的半径.类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
圆周角定理及推论
典例1 如图,A,B,C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点
F,则∠BAF等于( )
A.12.5° B.15°
C.20° D.22.5°
【解析】连接OB.∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC AB,
又∵OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=AB,∴△AOB为等边三角形,
∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,
由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°.
【答案】 B类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
A.1 B.2 C.3 D.4 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
切线的性质与判定
典例2 如图,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,PB是☉O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂
足为E,交☉O于点D,连接BD.
( 1 )求证:BD平分∠PBC;
( 2 )若☉O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.
【解析】( 1 )连接OB.∵PB是☉O的切线,
∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,
∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,
∴BD平分∠PBC.类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
【针对训练】1.( 日照中考 )如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交
☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是( A )类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6类型5 类型6类型3 类型4类型1 类型2
正多边形与圆的有关计算
1.如图,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐
标为( -1,0 ),则点C的坐标为 . 类型5 类型6类型3 类型4类型1 类型2
2.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,连接BD,DF,FB.
( 1 )设△BDF的面积为S1,正六边形ABCDEF的面积为S2,则S1与S2的数量关系是
S2=2S1 ;
( 2 )△ABF通过旋转可与△CDB重合,请指出旋转中心和最小旋转角的度数.
解:( 1 )S2=2S1.
提示:连接OD,OF,OB.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴△BDF是正三角形,
易知△ABF,△BDC,△DEF,△DOF,△BOF,△BOD都是全等的,∴S2=2S1.
( 2 )旋转中心是O,最小旋转角是120°.类型5 类型6类型3 类型4类型1 类型2
弧长、扇形面积及圆锥侧面积
典例3 如图,AB是☉O的直径,E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面
积之和为( )类型5 类型6类型3 类型4类型1 类型2
【答案】 A 类型5 类型6类型3 类型4类型1 类型2
【针对训练】
1.如图,半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A,C,则劣弧AC的长度为( B )
2.( 长春中考 )如图,在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC=4,以点B为圆心,BA长为半径作
圆弧,交BC于点D,则 的长为 .( 结果保留π )
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