小专题( 二 ) 垂径定理的有关计算由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角
与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知
识结合起来.类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
求半径长
1.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为(
B )类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
2.( 乐山中考 )《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学
的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材
埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,
埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸( ED=1寸 ),锯道长1尺( AB=1尺
=10寸 ),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的
直径AC是( C )
A.13寸 B.20寸
C.26寸 D.28寸类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
求弦长
3.如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C点,则BC=( A )类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
解:连接OA,OC,OC 交AB于点M.
根据垂径定理可知OC垂直平分AB,
因为∠ABC=30°,所以∠AOC=60°,类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
5.如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.
( 1 )用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E;( 保留作图痕迹,不
写作法 )
( 2 )若( 1 )中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
求弦心距
6.如图,在半径为5 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC=( B )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
7.( 衢州中考 )如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点
F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( D )类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
平行弦之间的距离
9.已知AB,CD是☉O的两条平行弦,AB=8,CD=6,☉O的半径为5,则弦AB与CD的距离为(
D )
A.1 B.7
C.4或3 D.7或1
提示:分两条平行弦在圆心O的同侧和异侧两种情况进行讨论,可得所求距离为7或1.类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
弓形计算
10.如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长
为( C )
A.10 cm B.16 cm
C.24 cm D.26 cm类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
实际应用
11.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100 cm,水面宽AB=120 cm,某天
下雨后,水管水面上升了20 cm,则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6
12.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面
AB=12米,拱高CD=9米,求圆的半径.
解:∵CD⊥AB且过圆心O,
连接OA,设半径为r米,∴OA=OC=r米,
∴OD=CD-OC=( 9-r )米,
∴在Rt△AOD中,
OA2=OD2+AD2,
∴r2=( 9-r )2+62,解得r=6.5.
∴☉O的半径为6.5米.
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