第24章 圆
24.1 旋转
第1课时 旋转的概念与性质
知识要点基础练
知识点1 旋转的相关概念
1.下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是(B)
2.下列现象属于旋转的是(C)
A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.飞机起飞后冲向空中的过程
C.幸运大转盘转动的过程
D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
知识点2 旋转的性质
3.一个图形经过旋转变换后,有以下结论:①对应线段的长度不变;②对应角的大小不变;③位置不变;④各点旋转的角度相同.其中正确的结论有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.(宜宾中考)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是 60° .
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知识点3 旋转对称图形
5.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合,那么n的值可能是(D)
A.45 B.60 C.90 D.120
知识点4 简单的旋转作图
6.如图,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.在图中画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的△ECD.并指出点A的对应点,∠A的对应角,旋转中心及旋转角.
答案图
解:如图所示,△ECD即为所求.
其中点A的对应点为点E,∠A的对应角为∠E,点C为旋转中心,∠ACE,∠DCB均为旋转角.
综合能力提升练
7.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是(B)
A.10° B.20° C.50° D.70°
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8.(天津中考)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是(C)
A.∠ABD=∠E B.∠CBE=∠C
C.AD∥BC D.AD=BC
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(D)
A.12 B.6 C.62 D.63
10.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为(D)
A.5 B.23 C.7 D.29
11.如图,O为正方形的旋转中心,正方形的边长是6 cm,一个足够大的直角∠AOB的顶点与点O重合,直角的两边与正方形的边分别交于点A,B,则图中阴影部分的面积为 9 cm2 .
12. 如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为 15° .
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13.如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=FF,则AB的长为 32 .
14.(宁波中考)在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;(画出一个即可)
(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°,画出旋转后的三角形.
解:(1)如图所示.(答案不唯一,画出一个即可)
(2)△A'CB'如图所示.
15.已知在△ABC中,AB=10,DE∥AC交AB于点D,交BC于点E.
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(1)将△BDE顺时针旋转到△BD'E'的位置,连接DD'和EE',如图1,试探究∠BDD'与∠BEE'之间的数量关系,并说明理由;
(2)将△BDE顺时针继续旋转,点D的对应点D'落在边BC上,如图2,若BE'=8,D'C=6,求BC的长.
解:(1)∠BDD'=∠BEE'.
理由:由旋转知△BDE≌△BD'E',∴BD=BD',BE=BE',∠DBE=∠D'BE',∴∠DBD'=∠EBE',又∵∠BDD'=180°-∠DBD'2,∠BEE'=180°-∠EBE'2,∴∠BDD'=∠BEE'.
(2)∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC,∴BDBA=BEBC.由题意可得BE=BE'=8,BD=BD'=BC-D'C=BC-6,AB=10.设BC=x,则x-610=8x,解得x1=3+89,x2=3-89(不合题意,舍去),故BC的长为3+89.
拓展探究突破练
16.【问题解决】数学课上,老师提出了一个这样问题:如图1,P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?
小明他通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP',求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】如图2,若P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=11,求∠APB的度数.
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解:【问题解决】如答图1,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.
∵PB=P'B=2,∠P'BP=90°,∴PP'=22,∠BPP'=45°.
又∵AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,
∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.
【类比探究】如答图2,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.
∵PB=P'B=1,∠P'BP=90°,∴PP'=2,∠BPP'=45°.
又∵AP'=CP=11,AP=3,∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,
∴∠APP'=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.
第2课时 中心对称与中心对称图形
知识要点基础练
知识点1 中心对称概念及性质
1.下列说法正确的是(C)
A.全等的两个图形成中心对称
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B.能够完全重合的两个图形成中心对称
C.旋转180°后能够完全重合的两个图形成中心对称
D.旋转后能够重合的两个图形成中心对称
2.
如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,下列结论中不成立的是(D)
A.OC=OC'
B.OA=OA'
C.BC=B'C'
D.∠ABC=∠A'C'B'
知识点2 中心对称图形
3.下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(B)
【变式拓展】在等边三角形、等腰梯形、平行四边形和正五边形中,是中心对称图形的是(C)
A.等边三角形 B.等腰梯形
C.平行四边形 D.正五边形
4.如图,已知图形是中心对称图形,则对称中心是(D)
A.点C B.点D
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C.线段BC的中点 D.线段FC的中点
知识点3 中心对称(图形)的画法
5.如图1,在10×10网格中,四边形ABCD是格点四边形(顶点在网格线的交点上).
(1)以点A为对称中心,画出四边形ABCD关于点A成中心对称的四边形AB1C1D1;
(2)点N是四边形ABCD内一格点,如图2,以点N为对称中心,画出四边形ABCD关于点N成中心对称的四边形A2B2C2D2.
(3)若格点四边形ABCD与格点四边形EFGH关于点O成中心对称,点A的对称点是点E,如图3,请在网格中标出点O的位置.
解:(1)如图1,四边形AB1C1D1即为所求.
(2)如图2,四边形A2B2C2D2即为所求.
(3)如图3,点O即为所求.
图1
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图2
图3
综合能力提升练
6.(长沙中考)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)
7.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标,其中属于中心对称图形的有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.(呼和浩特中考改编)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC进行了一次变换之后得到的,其中是通过中心对称得到的是(C)
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A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
9.如图所示,已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称,则点B的对称点是(D)
A.点E B.点F
C.点G D.点H
10.(乐山中考)如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为 6 .
11.(安徽中考)如图,已知A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-2)是直角坐标平面上的三点.
(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;
(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标,若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1内部,指出h的取值范围.
解:(1)△A1B1C1如图所示.
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(2)点B2的坐标为(2,-1).
观察可知,h的取值范围为2
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