24.6 正多边形与圆
第1课时 正多边形与圆
知识要点基础练
知识点1 正多边形的相关概念
1.正八边形的每个外角等于(C)
A.18° B.36° C.45° D.60°
2.下列多边形中,是正多边形的为(D)
A.各边都相等的多边形
B.有一个角为120°的等边多边形
C.各角都相等的四边形
D.每个角都是108°的等边多边形
3.一个外角等于它的一个内角的正多边形是 正方形 .
4.正十五边形的其中一个内角的度数等于 156° .
知识点2 正多边形与圆
5.下列正多边形,通过直尺和圆规不能作出的是(C)
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
6.正六边形的半径为6 cm,则该正六边形的内切圆面积为(D)
A.48π cm2 B.36π cm2
C.24π cm2 D.27π cm2
【变式拓展】正六边形ABCDEF内接于☉O,正六边形的周长是12,则☉O的半径是(B)
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A.3 B.2
C.22 D.23
7.用量角器将圆五等分,得到正五边形ABCDE(如图),AC,BD相交于点P,∠APB等于(C)
A.36° B.60° C.72° D.108°
8.如图是对称中心为点O的正八边形.如果用一个含45°角的直角三角板的角,借助点O(使角的顶点落在点O处)把这个正八边形的面积n等分.那么n的所有可能的值有(B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.(株洲中考)如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM= 48° .
10.如果要画一个正十二边形,那么用量角器将圆 十二 等分,每一份的圆心角是 30 °.
综合能力提升练
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11.高斯用直尺和圆规作出了正十七边形,如图,正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB的度数近似于(C)
A.11° B.17°
C.21° D.25°
12.(陕西中考)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则∠AFE的度数为 72° .
13.将一块正六边形硬纸片(如图①)做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面,如图②),需在每一个顶点处剪去一个四边形,如四边形AGA'H,那么∠GA'H的大小是 60° .
14.如图,五边形ABCDE内接于☉O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.
求证:五边形ABCDE是正五边形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E,∠A对着BDE,∠B对着CDA,∴BDE=CDA,
∴BDE-CDE=CDA-CDE,
即BC=AE,∴BC=AE.
同理可证其余各边都相等,
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∴五边形ABCDE是正五边形.
15.已知☉O和☉O上的一点A.
(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2)在(1)的作图中,如果点E在AD上,求证:DE是☉O内接正十二边形的一边.
解: (1)作法:
①作直径AC;
②作直径BD⊥AC;
③依次连接A,B,C,D四点,四边形ABCD即为☉O的内接正方形;
④分别以A,C为圆心,以OA长为半径作弧,交☉O于点E,H,F,G;
⑤顺次连接A,E,F,C,G,H各点,六边形AEFCGH即为☉O的内接正六边形.
(2)如图,连接OE,DE.
∵∠AOD=360°4=90°,∠AOE=360°6=60°,
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=90°-60°=30°,
∴DE为☉O的内接正十二边形的一边.
拓展探究突破练
16.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是不是正多边形”时,进行了如下讨论:
甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形;
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乙同学:我发现边数是6时,它也不一定是正多边形,如图1,△ABC是正三角形,AD=BE=CF,可证明六边形ADBECF的各内角相等,但它未必是正六边形;
丙同学:我能证明边数是5时,它是正多边形,我想边数是7时,它可能也是正多边形.
(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等;
(2)请你证明各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图2)是正七边形;(不必写已知、求证)
(3)根据以上探索过程,提出你的猜想.(不必证明)
解:(1)由题图1知∠AFC所对的弧为ABC,∠DAF所对的弧为DEF,
∵CF=DA,
∴DEF=DBC+FC=DBC+AD=ABC,
∴∠AFC=∠DAF.
同理可证,其余各角都等于∠AFC.
∴题图1中六边形各内角相等.
(2)由题图2知∠A所对的弧为BEG,∠B所对的弧为CEA.
∵∠A=∠B,∴CEA=BEG,∴BC=AG.
同理,BA=CD=EF=AG=BC=DE=FG,
∴各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG是正七边形.
(3)猜想:当边数是奇数时(或当边数是3,5,7,9,…时),各内角都相等的圆内接多边形是正多边形.
第2课时 正多边形的性质
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知识要点基础练
知识点1 正多边形的性质
1.如果一个正多边形的中心角是60°,那么这个正多边形的边数是(B)
A.5 B.6 C.7 D.8
【变式拓展】若正六边形外接圆的半径为4,则它的边长为(C)
A.2 B.43 C.4 D.23
2.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有(C)
①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤线段;⑥圆;⑦菱形;⑧平行四边形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.如图,该正多边形绕它的中心至少旋转n°后,能和原来的图形重合,则n= 45 .
知识点2 正多边形的计算
4.古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”(用圆内接正多边形的周长代替圆周长),来计算圆周率π的近似值.他从正六边形算起,一直算到正24576边形,将圆周率精确到小数后七位,在世界上领先一千多年.根据这个办法,由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是(B)
A.2.9 B.3 C.3.1 D.3.14
5.一个正六边形的半径为R,边心距为r,那么R与r的关系是(A)
A.r=32R B.r=22R
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C.r=34R D.r=53R
6.同圆的内接正n边形与外切正n边形的边长的比值是 cos 180°n .
7.如图,将正六边形纸片按下列要求分割.(每次分割,纸片均不得有剩余)
第一次分割:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形;
第二次分割:将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形.
…
按上述方法继续分割.
(1)请你在图中画出第一次分割的示意图.
(2)若原正六边形的面积为a,请你通过操作和观察,将第1次,第2次,第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表:
分割次数n
1
2
3
…
正六边形的面积S
a4
a16
a64
…
(3)观察所填表格,并结合操作,请你猜想:分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系?(S用含a和n的代数式表示,不需要写出推理过程)
解:(1)如图所示.
(3)S=a4n.
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综合能力提升练
8.(德阳中考)已知圆内接正三角形的面积为3,则该圆的内接正六边形的边心距是(B)
A.2 B.1 C.3 D.32
9.正五边形绕其中心旋转下列各角度,所得正五边形与原正五边形不重合的是(C)
A.216° B.144° C.120° D.72°
10.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形是(C)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【变式拓展】以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是(A)
A.22 B.32 C.2 D.3
11.(呼和浩特中考)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 2∶1 .
12.一元钱的硬币的直径约为24 mm,则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 123 mm.(保留根号)
13.(贵阳中考)如图,M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点.且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是 72 度.
14.如图,用扳手上螺帽,已知正六边形的螺帽的边长为a,当扳手开口的最大值是10 cm时,求能拧下最大正六边形的螺帽的边长a的值.
答案图
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解:如图所示,在正六边形ABCDEF中,连接DF,作EG⊥DF于点G.
由已知可得DF=10 cm,
在Rt△DEG中,DG=5 cm,∠DEG=60°,
∴DE=DGsin60°=5×23=1033 cm,
∴能拧下最大正六边形的螺帽的边长a的值为1033 cm.
15.如图1、图2分别是两个相同的正方形、正六边形,其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.
(1)求图1中重叠部分面积与阴影部分面积之比;
(2)求图2中重叠部分面积与阴影部分面积之比.(直接写出答案)
解:(1)连接OA,OB,过点O作OM⊥AB,垂足为M.
∵点O是正方形ABCD外接圆的圆心,
∴OA=OB,OM=12AB,∴S△ABO=14S正方形ABCD.
∵∠AOB=90°,∠A'OC'=90°,
∴∠AOF+∠A'OB=∠A'OB+∠BOE=90°,
∴∠AOF=∠BOE,
∵∠OAF=∠OBE=45°,
∴△AOF≌△BOE.∴S△AOF=S△BOE,
∴重叠部分面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF=S△ABO=14S正方形ABCD,∴S阴影=34S正方形ABCD.
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∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.
(2)1∶2.
拓展探究突破练
16.(河北中考)如图1,作∠BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如,若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,而90°2=45°是360°(多边形外角和)的18,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.
(1)图2中的图案外轮廓周长为14 ;
(2)在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,求会标的外轮廓周长.
解:(2)设∠BPC=2x,
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为360180-2x=18090-x,以∠APB为内角的正多边形的边数为360x,
∴图案外轮廓周长为18090-x-2+360x-2+360x-2=18090-x+720x-6.
根据题意可知,2x的值只能为60°,90°,120°,144°,当x越小时,周长越大,
∴当x=30时,周长最大,此时图案定为会标,则会标的外轮廓周长为18090-30+72030-6=21.
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