圆
章末小结与提升
旋转定义性质对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角相等,都等于 旋转角 旋转前、后的图形全等圆相关概念弦与直径弧、半圆、优弧、劣弧等圆与等弧基本性质垂径定理及推论(轴对称性)弧、弦、圆心角之间的关系(旋转不变性)圆周角定理及推论圆内接四边形的性质与圆有关的位置关系点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内直线和圆的位置关系相离相切相交(切线的性质与判定)正多边形和圆相关概念正多边形的计算正多边形的画法弧长和扇形面积弧长公式、扇形面积公式圆柱和圆锥的侧面积、全面积
类型1 旋转的性质及应用
1.
如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是(C)
10
A.线段AB与线段CD互相垂直
B.线段AC与线段CE互相垂直
C.点A与点E是两个三角形的对应点
D.线段BC与线段DE互相垂直
2.如图所示,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;
(2)将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,那么(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
解:(1)∵M为DE的中点,∴DM=EM.
∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,
又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,
∴AM=MN,即M为AN的中点.
(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN,
又∵DA=AB,∴AB=NE.
∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC,
∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,
∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,
∴∠BCN+∠ACB=90°,
∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形.
(3)成立.
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证明:由(2)可知AB=NE,BC=CE,
∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE.
∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,
又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+(180°-∠DBE)=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC.
∴△ABC≌△NEC,再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形,
∴(2)中的结论仍然成立.
类型2 垂径定理及推论
1.
如图所示,在☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为(D)
A.25 B.8
C.210 D.213
2.人工浮床又称人工浮岛,自20年前人类开发出第一个人工浮床之后,就将人工浮床应用于地表水体的污染治理和生态修复.近年来,我国的人工浮床技术开发及应用正好处于快速发展时期.如图所示,是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图,其中圆和三块边长为16米的正方形是浮岛框架部分,被分割成的7
10
部分将运用无土技术分别栽培7种不同的水生植物,正方形的顶点A,B,C,D都在圆上,且整个浮床成轴对称图形,求这个圆形人工浮床的半径.
解:设过点D的垂线与HF的交点为Q,连接BD交EF于点P,过点P作PO⊥BD交HG于点O,连接OB.在△BEP与△DQP中,
∠E=∠DQP,∠EPB=∠DPQ,BE=DQ,∴△BEP≌△DQP,
∴PB=PD,∴点O为圆心,∵BD=322+242=40,∴PB=20,∴PE=202-162=12,∴PH=4,∵∠E=∠BPO=90°,∴∠EBP+∠EPB=∠EPB+∠HPO=90°,∴∠EBP=∠HPO,
∴△PBE∽△OPH,∴PHBE=HOPE,∴HO=3,
∴OG=13,
∴OB=162+132=517,
∴这个圆形人工浮床的半径为517 米.
类型3 圆周角定理及推论
典例1
如图,A,B,C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF等于( )
A.12.5° B.15°
C.20° D.22.5°
【解析】连接OB.∵四边形ABCO是平行四边形,∴OCAB,又∵OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=AB,∴△AOB为等边三角形,∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠BAF=12∠BOF=15°.
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【答案】 B
【针对训练】
1.
(贺州中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,AB=10,AC=CD=DB,点E是点D关于AB的对称点,M是AB上的一动点,下列结论:①∠BOE=60°;②∠CED=12∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10.上述结论中正确的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.
(永州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,D是AC的中点,E是BC上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC= 100 °.
类型4 切线的性质与判定
典例2 如图,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,
PB是☉O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交☉O于点D,连接BD.
(1)求证:BD平分∠PBC;
(2)若☉O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.
10
【解析】(1)连接OB.∵PB是☉O的切线,
∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,
∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,
∴BD平分∠PBC.
(2)作DK⊥PB于点K.
∵S△BDES△BDP=12BE·ED12PB·DK=DEDP,
又∵BD平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,
∴DK=DE,∴BEPB=EDPD=13,
∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°,
∴∠OBE=∠P,
∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB,
∴BOPB=OEBE,∴OEBO=BEPB=13,
∵BO=1,∴OE=13,
∵OE⊥BC,∴BE=EC,
∵AO=OC,∴AB=2OE=23.
【针对训练】
1.(日照中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是(A)
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A.53 B.52 C.5 D.52
2.(永州中考)如图,线段AB为☉O的直径,点C,E在☉O上,BC=CE,CD⊥AB,垂足为D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若cos∠ABE=45,在AB的延长线上取一点M,使BM=4,☉O的半径为6.求证:直线CM是☉O的切线.
解:(1)延长CD交☉O于点G.
∵CD⊥AB,∴BC=BG,
∵BC=CE,∴CE=BG,
∴∠CBE=∠GCB,
∴CF=BF.
(2)连接OC交BE于点H.
∵BC=CE,∴OC⊥BE,
在Rt△OBH中,cos∠OBH=BHOB=45,
∴BH=45×6=245,
∴OH=OB2-BH=62-2452=185,
∵OHOC=1856=35,OBOM=66+4=35,∴OHOC=OBOM,
∵∠HOB=∠COM,
∴△OHB∽△OCM,∴∠OCM=∠OHB=90°,
∴OC⊥CM,
10
∴直线CM是☉O的切线.
类型5 正多边形与圆的有关计算
1.如图,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐标为(-1,0),则点C的坐标为 12,-32 .
2.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,连接BD,DF,FB.
(1)设△BDF的面积为S1,正六边形ABCDEF的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 S2=2S1 ;
(2)△ABF通过旋转可与△CDB重合,请指出旋转中心和最小旋转角的度数.
解:(1)S2=2S1.
提示:连接OD,OF,OB.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴△BDF是正三角形,
易知△ABF,△BDC,△DEF,△DOF,△BOF,△BOD都是全等的,∴S2=2S1.
(2)旋转中心是O,最小旋转角是120°.
类型6 弧长、扇形面积及圆锥侧面积
典例3
10
如图,AB是☉O的直径,E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为( )
A.3 B.23
C.32 D.1
【解析】如图,连接AE,OD,OE,∵AB是直径,∴∠AEB=90°,又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°,∴∠AOD=2∠AED=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠OAD=60°,∵E为BC的中点,∠AEB=90°,∴AB=AC,∴△ABC是等边三角形,边长是4,△EDC是等边三角形,边长是2,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴BE和弦BE围成部分的面积等于DE和弦DE围成部分的面积,∴阴影部分的面积=S△EDC=34×22=3.
【答案】 A
【针对训练】
1.
如图,半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A,C,则劣弧AC的长度为(B)
A.35π B.45π
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C.34π D.23π
2.(长春中考)如图,在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC=4,以点B为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D,则AD的长为 8π9 .(结果保留π)
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