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1.2 展开与折叠
【学习目标】：
1．通过折叠几何体，发展学生空间观念，积累数学活动经验。
2． 2．能根据展开图判断和制作简单的立体模型。
3．经历和体验图形的变化过程，体会几何体与它的展开图之间的关系。
【学习重点】：
利用模型将展开图折叠成几何体是重点。
【学习难点】：不用模型，展开想象，由展开图怎样叠成几何体。
基础知识
1．棱柱的表面展开图
棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的．沿棱柱表面不同的棱剪
开就可以得到不同的表面展开图．如图是棱柱的一种展开图．
棱柱的表面展开图是两个完全相 同的多边形(底面)和几个长方形(侧面)．
【例题点拨 1】 如图，请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形．
解析：
(1) 三棱柱 两个底面是三角形
(2) 六棱柱 两个底面是六边形
(3) 长方体 两个底面是长方形
(4) 三棱柱 两个底面是三角形
答案：三棱柱 六棱柱 长方体 三棱柱
2．圆柱、圆锥的表面展开图
(1)圆柱的表面展开图
沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图．圆柱的表面展开图是两个圆
(底面)和一个长方形(侧面)，如图所示．
如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示)，折叠后上端没有底，下端有两个底，则
它不能折叠成圆柱．2
(2)圆锥的表面展开图
如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面)．
【例题点拨 2】 如图所示图形都是几何体的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？
分析：主要根据顶点、棱、面的数量及侧面展开图的形状进行判断．
解：圆锥、圆柱、五棱柱．
3．平面图形的折叠
平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体图形，与立体图形展开成平面图形是
一个互逆过程．我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何
体．
根据平面展开图判断立体图形的方法：
(1)能够折叠成棱柱的特征：
①棱柱的底面边数＝侧面的个数．
②棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧．
(2)圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形．
(3)圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形．
(4)能够折叠成正方体的特征：
①6 个面都是 完全相同的正方 形．
②正方体展开图连在一起的 (指在同一条直线上的)正方形最多只能为 4 个．
③以其中 1 个为底面，前、后、左、右、上 面都有，且不重叠．
4．正方体展开图上的数字问题
正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形，与正方体的展开图有关的数字问题主要是
相对面的找法，确定了三组相对面，数字问题便可迎刃而解．
正方体 的平面展开图共有 11 种，可分为四类：
(1)1－4－1 型3
相对面的确定：①第一行与第三行的正方形是相对面；②中间一行的 4 个正方形中，相
隔一个是相对面．
(2)1－3－2 型
相对面的确定：①第一行的正方形与第三行的 左边第 1 个正方形是相对面；②中间一
行第 1 个与第 3 个为相对面；第 2 个与第三行第 2 个为相对面．
(3 )2－2－2 型
相对面的确定：①第一行的第 1 个与第二行的第 2 个是相对面；②第二 行第 1 个与第
三行的第 2 个是相对面；③第三行的第 1 个与第一行的第 2 个为相对面．
(4)3－3 型
相对面的确定：①第一行的第1 个与第 3 个为相对面；②第二行的第 1 个与第 3 个为相
对面；③第一行的第 2 个与第二行的第 2 个为相对面．
【例题点拨 3－1】 如图所示，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？
分析：(1)底面是四边形，侧面有 3 个，显然与三棱柱、四棱柱的特征不 符；(3)的两
个底面在侧面同侧，折叠后也不能围成棱柱；(2)(4)折叠后可以围成棱柱．
解：(2)(4)可以．
【例题点拨 3－2】 生活中我们经常可以见到各种各样的包装盒，你能用线将图中的实
物和 它的平面展开图连接起来吗？
分析：根据能折叠成不同几何体的特征去判断即可．
解：如图所示．4
【例例题点拨 4－1】如图所示，假定用 A，B 表示正方体相邻的两个面，用字母 C 表示
与 A 相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母．
分析：先判断属于哪种类型，再确定相对面．前三种的相对面都是隔一个即可；第四种
的 A 与上面第一行中的第 2 个是相对面．
解：如图所示．
【例例题点拨 4－2】 要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之
和为 6，则 x＝__________，y＝__________.
解析：这里关键是要找到相对的面，折叠之后可知，x 与 1 相对，所以 x＝5，y 与 3 相
对，所以 y＝3.
答案：5 3
【例例题点拨 4－3】 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示)，则
这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( )．
解析：这个正方体的平面展开图属于 1－4－1 型的，根据规律可知，第一行的与第三行
的为相对面，中间一行的第 1 个与第 3 个、第 2 个与第 4 个为相对面，故应选 A.
答案：A
5．表面展开图的应用
正方体与图案
正方体前面、上面、右面有不同的图案，按不同的类型展开后，其图案也会发生相应的
变化．根据展开图判断是否与模型对应的方法：
(1)三个面上的不同图案不会对立，所以可排除三种图案对立的情况；
(2)位置判断：相邻三个面的图案位置是否一致．当前面和上面的图案确定位置后，另
一个图案是在左面还是右面，图案放置的角度是否正确．
【例 5】 图中给出的是哪个正方体的展开图？( )．5
解析：显然带有黑色的面是相对的面，所以 A，B 错误．又因为两个黑色小正方形应该
是相对的，所以选 D.
答案：D
基本方法
【基础训练】
1.下列第二行的哪种几何体的表面能展开成第一行的平面图形？请对应连线。
2.下列说法中正确的是 （ ）
A、正方体是四面体 B、棱锥的底面一定是四边形
C、长方体是四棱柱，四棱柱是长方体 D、圆柱的侧面展开图是长方形
1.有上图每个图形都是由 6 个全等的正方形组成的，其中不是正方体的展开图的是（ ）
A B C D
3.将左边的正方体展开能得到的图形是 （ ）
A B C D
4. 如左上图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱 AC、BC、CD 剪开
展成平面图形，则所得的展开图是（ ）6
5.请你至少画出同一个三棱柱的三种表面展开平面图．
6.如图（1）是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第 1 格、
第 2 格、第 3 格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．奥 B．运 C．圣 D．火
5、下列图形是某些几何体的平面展开图，说出这些几何体的名称：
6.图 3.3-4 由六个正方形组成，将它们折叠可以组成一个正方体，正方体的表面编数码为
1、2、3、4、5、6。有 3 个面上的数字漏写了，如果每一对面上的数的和都是 7，求 k 的值。
思路点拨：想象一下折叠成的正方体，如果 k 处于上面的话，3 正好与 k 相对处于底面。
【能力提升】
A B C D
D
C
B
A
迎
接 奥 运 圣
火
图 1
迎
接 奥
1
2 3
图 27
1．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ C ）
2．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ D ）
3.如图所示，用 1、2、3、4 标出的四块正方形，以及由字母标出的八块正方形中任意一块，
一共要用 5 块连在一起的正方形折成一个无盖方盒，共有几种不同的方法？请选择合适的方
法。
4.如图，正方体盒子中，一只蚂蚁从 B 点沿正方体的表面爬到 D1 点，画出蚂蚁爬行的最短
线路.
【解 析】正方体是空间图形，解决空间图形的问题，经常是将空间图形转化为平面图形，
这正是转化思想的体现.将正方体展开成平面图形，如图所示，因为两点之间线段最短，所
以，在图中，BD1 就是所要求的最短线路.
★
★ ★
★
图 1
图 2
图 3
1 2 3
4
A． B． C． D．8
思维扩展
1.如上图，用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色.
（1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 8 个小正方体.观察其中三面
被涂色的有 a 个，如图①,那么 a 等于 ；
（2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 27 个小正方体.观察其中三
面被涂色的有 a 个，各面都没有涂色的 b 个，如图②,那么 a+b= ；
（3）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 64 个小正方体.观察其中两
面被涂成红色有 c 个，各面都没有涂色的 b 个，如图③,那么 b+c= .
2.某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图上阴影部分），但是
一不小心，少画了一个，请你给他补上一个，可以组合成正方体，你有几种画法，在图上用
阴影注明。
答：画图如图 3.3-3，有四种方法。
思路点拨：想象折叠成正方体时各个面所处的位置，看看缺哪个面，再确定在什么位置
补画。
易错辨析：在想象困难时借助实物考虑。
方法点评：平面图形与立体图形之间的转换，在解题中应尽可能充分地想象，或借助实
物。
3.一只蜘蛛在一个正方体的顶点 A 处，一只蚊子在正方体的顶点 B 出，如图 3.3-7 所示，
现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的
最短路线有几条？9
思路点拨：欲求从 A 到 B 的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开
成平面图形来考虑。如图 3.2-8 所示，我们都有这样的实际经验，在两点之间，走直路路程
最短，因而沿着从 A 到 B 的虚线走路程最短。然后再把展开图折叠起来，在正方体上，象这
样最短的路线一共有六条。
4.给出两个等边三角形纸片如图 3.3-9，要求用其中一个剪成底面是等边三角形的三棱锥，
另一个剪成上下底面是等边三角形的直三棱柱。请你设计一种剪拼的方法，分别在图上用虚
线画出来。
6、把一个等腰三角形沿着中间的折痕剪开，得到两个形状和大小完全相同的直角三角
形，将这两个直角三角形拼在一起，使得它们有一条相等的边是公共边，能拼出多少种不同
的几何图形？画出这些图形来。
4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交
于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和
最小是( A ) （还原正方体）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
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